• 21 Uma formiga, enlouquecida pelo sol em um dia quente, sai correndo em um plano x y. As componentes (x, y) de quatro corridas consecutivas em linha reta são as seguintes, todas em centímetros: (30,0 ; 40,0),\left(b_{x} ;-70,0\right),\left(-20,0 ; c_{y}\right),(-80,0 ;-70,0). O deslocamento resultante das quatro corridas tem componentes (-140 ;-20,0). Determine (a) b_{x} e (b) c_{y}. Determine (c) o módulo e (d) o ângulo (em relação ao semieixo x positivo) do deslocamento total.

Passo 1

O enunciado dá quatro corridas (vetores) no plano xy — todas as componentes estão em centímetros — e informa o deslocamento resultante. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
  • Vetor 1: \,(30,0;\;40,0) ou seja (30,\;40).
  • Vetor 2: \,(b_x;\;-70,0) ou seja (b_x,\;-70).
  • Vetor 3: \,(-20,0;\;c_y) ou seja (-20,\;c_y).
  • Vetor 4: \,(-80,0;\;-70,0) ou seja (-80,\;-70).
  • Deslocamento resultante: \,(-140;\;-20,0) ou seja (-140,\;-20).
O enunciado pede:
(a) determinar b_x;
(b) determinar c_y;
(c) determinar o módulo (comprimento) do deslocamento total;
(d) determinar o ângulo do deslocamento total em relação ao semieixo x positivo.

Passo 2

Conceito fundamental (mini-aula): soma de vetores por componentes.
  • Se vários vetores \vec{v}_1,\vec{v}_2,\dots,\vec{v}_n têm componentes \vec{v}_i=(v_{i x},v_{i y}), então o vetor resultante \vec{R} tem componentes dadas por
R_x=\sum_{i} v_{i x},\qquad R_y=\sum_{i} v_{i y}.
  • Isso significa que somamos separadamente todas as componentes x e todas as componentes y.

Passo 3

Aplicando a regra de soma de componentes aos quatro vetores, escrevemos duas equações (uma para x e outra para y) usando o resultado informado \vec{R}=(-140,-20).
Equação para a componente x:
30 + b_x + (-20) + (-80) = -140.
Equação para a componente y:
40 + (-70) + c_y + (-70) = -20.

Passo 4

Resolver a equação para b_x.
Primeiro simplificar a soma das constantes em x:
30 - 20 - 80 = 30 - 100 = -70.
Então a equação fica
-70 + b_x = -140.
Isolando b_x:
b_x = -140 - (-70) = -140 + 70 = -70.
Portanto \,b_x = -70 (centímetros).

Passo 5

Resolver a equação para c_y.
Primeiro simplificar a soma das constantes em y:
40 - 70 - 70 = 40 - 140 = -100.
Então a equação fica
-100 + c_y = -20.
Isolando c_y:
c_y = -20 - (-100) = -20 + 100 = 80.
Portanto \,c_y = 80 (centímetros).

Passo 6

Verificação rápida (checar se faz sentido): somando todas as componentes com os valores encontrados:
  • Soma em x: 30 + (-70) + (-20) + (-80) = 30-70-20-80 = -140, bate com R_x.
  • Soma em y: 40-70+80-70 = -20, bate com R_y.
    Tudo consistente.

Passo 7

Cálculo do módulo do deslocamento total (mini-aula sobre módulo de vetor):
  • Se \vec{R}=(R_x,R_y), o módulo |\vec{R}| é dado pelo teorema de Pitágoras:
|\vec{R}|=\sqrt{R_x^{2}+R_y^{2}}.
Aqui R_x=-140 e R_y=-20. Então
|\vec{R}|=\sqrt{(-140)^{2}+(-20)^{2}}=\sqrt{19600+400}=\sqrt{20000}.
Fatorando \,20000=10000\cdot2, obtemos
|\vec{R}|=100\sqrt{2}\\ \text{cm}\approx 141,42\\ \text{cm}.

Passo 8

Cálculo do ângulo do deslocamento total (mini-aula sobre direção de vetor):
  • A tangente do ângulo de um vetor é \tan\theta=R_y/R_x, mas atenção: o arco-tangente simples dá apenas o ângulo referência; é preciso considerar o quadrante onde o vetor está.
  • Nosso vetor (-140,-20) tem R_x<0 e R_y<0, portanto está no terceiro quadrante (ângulos entre 180^\circ e 270^\circ).
  • A referência (ângulo absoluto acima do eixo x positivo) pode ser escrita como
\theta = 180^\circ + \arctan\!\left(\frac{|R_y|}{|R_x|}\right).
Calcule a razão:
\frac{|R_y|}{|R_x|}=\frac{20}{140}=\frac{1}{7}.
Portanto
\theta = 180^\circ + \arctan\!\left(\frac{1}{7}\right).
Agora uma aproximação numérica: \arctan\!\left(\frac{1}{7}\right)\approx 8,13^\circ. Logo
\theta \approx 180^\circ + 8,13^\circ = 188,13^\circ.
Também em radianos isso é aproximadamente \theta \approx \pi + 0{,}1426 \approx 3{,}2841\\ \text{rad}.

Passo 9

Resumo final — mantenha estas respostas prontas para a prova: valores de b_x e c_y, módulo e direção do vetor resultante. Força aí — você já destrinchou tudo, e agora é só decorar o raciocínio: somar componentes, aplicar Pitágoras e usar arctan cuidando do quadrante.

Resposta

(a) b_x=-70 cm
(b) c_y=80 cm
(c) |\vec{R}|=100\sqrt{2}\\ \text{cm}\approx 141,42\\ \text{cm}
(d) \theta=180^\circ+\arctan\!\left(\dfrac{1}{7}\right)\approx 188,13^\circ

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