- 21 Uma formiga, enlouquecida pelo sol em um dia quente, sai correndo em um plano
. As componentes
de quatro corridas consecutivas em linha reta são as seguintes, todas em centímetros:
. O deslocamento resultante das quatro corridas tem componentes
. Determine (a)
e (b)
. Determine (c) o módulo e (d) o ângulo (em relação ao semieixo
positivo) do deslocamento total.
Passo 1
O enunciado dá quatro corridas (vetores) no plano
— todas as componentes estão em centímetros — e informa o deslocamento resultante. Vou listar claramente o que foi dado e o que se pede.
Dados (peguei estes números do enunciado):
- Vetor 1:
ou seja . - Vetor 2:
ou seja . - Vetor 3:
ou seja . - Vetor 4:
ou seja . - Deslocamento resultante:
ou seja .
O enunciado pede:
(a) determinar ;
(b) determinar ;
(c) determinar o módulo (comprimento) do deslocamento total;
(d) determinar o ângulo do deslocamento total em relação ao semieixo positivo.
(a) determinar
(b) determinar
(c) determinar o módulo (comprimento) do deslocamento total;
(d) determinar o ângulo do deslocamento total em relação ao semieixo
Passo 2
Conceito fundamental (mini-aula): soma de vetores por componentes.
- Se vários vetores
têm componentes , então o vetor resultante tem componentes dadas por
- Isso significa que somamos separadamente todas as componentes
e todas as componentes .
Passo 3
Aplicando a regra de soma de componentes aos quatro vetores, escrevemos duas equações (uma para
e outra para
) usando o resultado informado
.
Equação para a componente
:
Equação para a componente
:
Passo 4
Resolver a equação para
.
Primeiro simplificar a soma das constantes em
:
Então a equação fica
Isolando
:
Portanto
(centímetros).
Passo 5
Resolver a equação para
.
Primeiro simplificar a soma das constantes em
:
Então a equação fica
Isolando
:
Portanto
(centímetros).
Passo 6
Verificação rápida (checar se faz sentido): somando todas as componentes com os valores encontrados:
- Soma em
: , bate com . - Soma em
: , bate com .
Tudo consistente.
Passo 7
Cálculo do módulo do deslocamento total (mini-aula sobre módulo de vetor):
- Se
, o módulo é dado pelo teorema de Pitágoras:
Aqui
e
. Então
Fatorando
, obtemos
Passo 8
Cálculo do ângulo do deslocamento total (mini-aula sobre direção de vetor):
- A tangente do ângulo de um vetor é
, mas atenção: o arco-tangente simples dá apenas o ângulo referência; é preciso considerar o quadrante onde o vetor está. - Nosso vetor
tem e , portanto está no terceiro quadrante (ângulos entre e ). - A referência (ângulo absoluto acima do eixo
positivo) pode ser escrita como
Calcule a razão:
Portanto
Agora uma aproximação numérica:
. Logo
Também em radianos isso é aproximadamente
.
Passo 9
Resumo final — mantenha estas respostas prontas para a prova: valores de
e
, módulo e direção do vetor resultante. Força aí — você já destrinchou tudo, e agora é só decorar o raciocínio: somar componentes, aplicar Pitágoras e usar arctan cuidando do quadrante.
Resposta
(a)
cm
(b) cm
(c)
(d)
(b)
(c)
(d)