* 13 - Prove que

Passo 1

O enunciado pede para calcular
limnto+inftyintegral0^1integral0^1x^ny^n,dx,dy
O conteúdo é integração em produto de variáveis independentes e cálculo de limite de sequência numérica. Vamos usar o fato de que x^n y^n é não-negativo e integrável no quadrado unitário para separar a integral dupla em produto de integrais simples.

Passo 2

Como x^n y^n>=0 e é contínuo em [0,1]times[0,1], pelo Teorema de Fubini podemos escrever
integral0^1integral0^1x^ny^n,dx,dy =l(integral0^1x^n,dxr)cdotl(integral0^1y^n,dyr)

Passo 3

Vamos calcular uma das integrais simples. Para qualquer inteiro n>=0,
integral0^1x^n,dx =[x^n+1n+1]0^1 =1n+1
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integral0^1integral0^1x^ny^n,dx,dy =1n+1cdot1n+1 =1(n+1)^2

Passo 4

Basta agora tomar o limite quando nto+infty:
limnto+infty1(n+1)^2=0

Resposta

0

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