Encontre a solução geral da EDO dada.
Passo 1
Show de bola! O problema é achar a solução geral da EDO
.
Isso é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Pra resolver, vamos precisar de:
Isso é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Pra resolver, vamos precisar de:
- resolver a parte homogênea (zerar o lado direito e fazer
); - achar uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.
Aí somamos as duas e fechou!
Passo 2
Solvendo a parte homogênea
.
A ideia é chutar . Substituindo:
A ideia é chutar
Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Agora, pra parte particular, queremos algo que gere o termo
.
Como isso é um polinômio de grau 1 em vezes
, e
é raiz da característica (multiplicidade 1), a gente multiplica o chute
por mais um
. Fica:
Como isso é um polinômio de grau 1 em
Defino
, então
. Pela regra do produto (
) chegamos a:
1)
1)
Então
Isso tem que dar
. Cancelando
, sobra
Como
, temos
e
. Substituindo:
Comparando coeficientes de
e constantes:
- Em
: - Constante:
Logo
Passo 4
Por fim, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
Se quiser, dá pra combinar o particular em
.