Encontre a solução geral da EDO dada.

Passo 1

Show de bola! O problema é achar a solução geral da EDO
y'' - 9y = 9xe^3x.
Isso é uma equação diferencial linear de 2ª ordem com coeficientes constantes.
Pra resolver, vamos precisar de:
  1. resolver a parte homogênea (zerar o lado direito e fazer y'' - 9y = 0);
  2. achar uma solução particular usando o método dos coeficientes a determinar.
    Aí somamos as duas e fechou!

Passo 2

Solvendo a parte homogênea y'' - 9y = 0.
A ideia é chutar y = e^rx. Substituindo:
r^2 e^rx - 9e^rx = 0 ;Longrightarrow; r^2 - 9 = 0 ;Longrightarrow; r = pm 3
Portanto a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^3x + C2 e^-3x

Passo 3

Agora, pra parte particular, queremos algo que gere o termo 9x e^-3x.
Como isso é um polinômio de grau 1 em x vezes e^-3x, e -3 é raiz da característica (multiplicidade 1), a gente multiplica o chute (Ax+B)e^-3x por mais um x. Fica:
yp(x) = x(Ax + B)e^-3x = (A x^2 + Bx)e^-3x
Defino u(x)=Ax^2 + Bx, então yp = u,e^-3x. Pela regra do produto ( ddx[u,v]=u'v+uv') chegamos a:
1)
yp' = u' e^-3x + u(-3e^-3x) = (u' - 3u)e^-3x
yp'' = (u' - 3u)'e^-3x - 3(u' - 3u)e^-3x = (u'' - 6u' + 9u)e^-3x
Então
yp'' - 9yp = (u'' - 6u' + 9u)e^-3x - 9u e^-3x = (u'' - 6u')e^-3x
Isso tem que dar 9x e^-3x. Cancelando e^-3x, sobra
u'' - 6u' = 9x
Como u = Ax^2 + Bx, temos u' = 2Ax + B e u'' = 2A. Substituindo:
2A - 6(2Ax + B) = 9x ;Longrightarrow;2A -12Ax -6B = 9x
Comparando coeficientes de x e constantes:
  • Em x: -12A = 9 implies A = -tfrac34
  • Constante: 2A -6B = 0 implies B = -tfrac14
    Logo
yp(x) = l(-tfrac34x^2 - tfrac14xr)e^-3x

Passo 4

Por fim, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = yh(x) + yp(x) = C1 e^3x + C2 e^-3x + l(-tfrac34x^2 - tfrac14xr)e^-3x
Se quiser, dá pra combinar o particular em -tfrac3x^2 + x4e^-3x.

Resposta

y(x) = C1 e^3x + C2 e^-3x - 3x^2 + x4,e^-3x

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