Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=\frac{1-x-y}{x+y})

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = 1 - x - yx + y
usando uma substituição que torne a relação entre x e y mais simples.

Passo 2

O denominador e parte do numerador envolvem x+y, o que sugere a substituição u = x + y. Como consequência, y = u - x. Para expressar dydx em termos de u, derivamos:
dydx = dudx - 1

Passo 3

Substituindo na equação original, obtemos
dudx - 1 = 1 - x - yx + y = 1 - uu
Isolando dudx, vem
dudx = 1 - uu + 1 = 1u

Passo 4

A equação agora é separável em u e x:
dudx = 1u Longrightarrow u,du = dx
Integramos ambos os lados.

Passo 5

Ao integrar, obtemos
integral u,du = integral dx Longrightarrow u^22 = x + C
Multiplicando por 2 e definindo C1 = 2C, fica
u^2 = 2x + C1

Passo 6

Voltando à variável original ( u = x + y), temos
(x + y)^2 = 2x + C1
Daí a solução geral pode ser escrita como
y = -x pm raiz2x + C1

Resposta

A solução geral da equação diferencial é
(x + y)^2 = 2x + C1,
ou, equivalentemente,
y = -x pm raiz2x + C1,
onde C1 é uma constante arbitrária.

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