Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=\frac{1-x-y}{x+y})
(\frac{d y}{d x}=\frac{1-x-y}{x+y})
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
usando uma substituição que torne a relação entre
e
mais simples.
Passo 2
O denominador e parte do numerador envolvem
, o que sugere a substituição
. Como consequência,
. Para expressar
em termos de
, derivamos:
Passo 3
Substituindo na equação original, obtemos
Isolando
, vem
Passo 4
A equação agora é separável em
e
:
Integramos ambos os lados.
Passo 5
Ao integrar, obtemos
Multiplicando por 2 e definindo
, fica
Passo 6
Voltando à variável original (
), temos
Daí a solução geral pode ser escrita como
Resposta
A solução geral da equação diferencial é
ou, equivalentemente,
onde
é uma constante arbitrária.