Calcule a derivada de:
f(x)=tan (2 x)x^2+1

Passo 1

O enunciado pede a derivada da função
f(x)=tan(2x)x^2+1
O conteúdo principal envolve a regra do quociente e, dentro dela, a regra da cadeia para derivar tan(2x).

Passo 2

Primeiro, vamos derivar separadamente numerador e denominador:
  • Numerador: u(x)=tan(2x). Pela regra da cadeia,
u'(x)=sec^2(2x)cdotddx(2x)=2,sec^2(2x)
  • Denominador: v(x)=x^2+1. Diretamente,
v'(x)=2x

Passo 3

Agora aplicamos a regra do quociente, que diz
f'(x) =v(x),u'(x)-u(x),v'(x)l(v(x)r)^2
Substituindo u,u',v,v':
f'(x) =(x^2+1),(2,sec^2(2x))-l(tan(2x)r),(2x)(x^2+1)^2

Passo 4

Fatorando o 2 em cima:
f'(x) =2l((x^2+1),sec^2(2x)-x,tan(2x)r)(x^2+1)^2

Resposta

f'(x)=2l((x^2+1),sec^2(2x)-x,tan(2x)r)(x^2+1)^2

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