Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(\frac{d y}{d x}=(x+y+1)^{2})

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = (x+y+1)^2
É uma equação de primeira ordem não linear. A técnica apropriada é fazer uma substituição de variável que a torne separável.

Passo 2

Definimos
u = x + y + 1
Aplicando a regra da cadeia,
dudx = ddx(x) + dydx = 1 + dydx
Como dydx = u^2, temos
dudx = 1 + u^2,
que é uma equação separável em u e x.

Passo 3

Separamos as variáveis:
du1+u^2 = dx
Integramos ambos os lados:
integral du1+u^2 = integral dx Longrightarrow arctan(u) = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Isolamos u:
u = tanl(x + Cr)
Voltando à variável original:
x + y + 1 = tanl(x + Cr) Longrightarrow y = tanl(x + Cr) - x - 1

Resposta

y(x)=tan(x+C)-x-1

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