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QUESTÃO: Calcule a integral dupla.
\int_{D} \int x \cos (y) d A, D é limitada pelas retas y=0, y=x^{2}, x=1;

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de ,xcos(y) sobre a região D limitada por
,y=0, ,y=x^2 e ,x=1. O conteúdo necessário é a interpretação de integrais iteradas e mudança de ordem quando conveniente, além de uma substituição simples para resolver uma integral em x.

Passo 2

Primeiro, identificamos os limites de integração. A curva y=x^2 cruza y=0 em x=0. Como há também a reta x=1, o domínio é
0<= x<=1, 0<= y<= x^2
Podemos então escrever
integral duplaDxcos(y),dA ;=;integralx=0^1l(integraly=0^x^2xcos(y),dyr),dx

Passo 3

Dentro da integral interna dy, tratamos x como constante e integramos em y:
integraly=0^x^2xcos(y),dy =;x;l[sin(y)r]0^x^2 =;xl(sin(x^2)-0r) =;x,sin(x^2)

Passo 4

Agora a integral externa em x fica
integral0^1x,sin(x^2),dx
Fazemos a substituição u=x^2, logo du=2x,dx ou x,dx=tfrac12,du. Quando x varia de 0 a 1, u vai de 0 a 1. Assim:
integral0^1x,sin(x^2),dx =;12integralu=0^1sin(u),du =;12l[-cos(u)r]0^1 =;-12l(cos(1)-cos(0)r)

Passo 5

Como cos(0)=1, obtemos
-tfrac12l(cos(1)-1r) =;1-cos(1)2

Resposta

boxed1-cos(1)2

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