17º
QUESTÃO: Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
\iint_{D}
x^{2} y d A, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 4 .

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral duplaD x^2y,dA
onde D é a metade superior do disco de raio 4 centrado na origem. O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas polares.

Passo 2

Em coordenadas polares temos
x = rcostheta, y = rsintheta, dA = r,dr,dtheta
Logo o integrando fica
x^2y,dA = (rcostheta)^2,(rsintheta),r,dr,dtheta = r^4cos^2thetasintheta,dr,dtheta

Passo 3

O domínio D em polares é dado por
0 <= r <= 4, 0 <= theta <= pi
(semicírculo superior).

Passo 4

Escrevendo a integral e separando a parte radial:
integral duplaD x^2y,dA = integral0^pi!!integral0^4 r^4cos^2thetasintheta,dr,dtheta = l(integral0^4 r^4,drr), l(integral0^pi cos^2thetasintheta,dthetar)
Calculemos a parte radial:
integral0^4 r^4,dr = [r^55]0^4 = 4^55 = 10245

Passo 5

Agora a parte angular:
integral0^pi cos^2thetasintheta,dtheta
Use u = costheta, du = -sintheta,dtheta. Quando theta=0, u=1; quando theta=pi, u=-1. Assim
integral0^pi cos^2thetasintheta,dtheta = integral1^-1 u^2(-du) = integral-1^1 u^2,du = [u^33]-1^1 = 13 - l(-13r) = 23

Passo 6

Multiplicando as partes:
integral duplaD x^2y,dA = 10245 times 23 = 204815

Resposta

204815

Exercícios relacionados