17º
QUESTÃO: Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
\iint_{D}
x^{2} y d A, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 4 .
QUESTÃO: Calcule a integral dada, colocando-a em coordenadas polares.
\iint_{D}
x^{2} y d A, onde D é a metade superior do disco com centro na origem e raio 4 .
Passo 1
O enunciado pede para calcular
onde
é a metade superior do disco de raio
centrado na origem. O conteúdo aqui é integral dupla em coordenadas polares.
Passo 2
Em coordenadas polares temos
Logo o integrando fica
Passo 3
O domínio
em polares é dado por
(semicírculo superior).
Passo 4
Escrevendo a integral e separando a parte radial:
Calculemos a parte radial:
Passo 5
Agora a parte angular:
Use
,
. Quando
,
; quando
,
. Assim
Passo 6
Multiplicando as partes: