Encontre a solução geral da EDO dada e determine o comportamento das soluções quando t +infty.
d yd x=1e^y-x.

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
dydx = 1e^y - x
e o comportamento das soluções quando xto+infty.
Este é um caso de equação não-exata que se torna exata após multiplicação por um fator integrante que depende apenas de y.

Passo 2

Escrevemos em forma diferencial
dx - (e^y - x),dy = 0
aqui M(x,y)=1 e N(x,y)=-(e^y - x)=x - e^y.
Calculamos
partial Mpartial y = 0, partial Npartial x = 1,
logo não é exata. Buscamos um fator integrante mu(y) satisfa-zendo
1mudmudy = partial M/partial y - partial N/partial xN = 0-1,x - e^y, = -1x-e^y,
mas isso depende de x. Em vez disso, testamos
partial N/partial x - partial M/partial yM = 1-01 = 1,
o que indica mu(y)=e^integral 1,dy=e^y.

Passo 3

Multiplicamos toda a equação por mu(y)=e^y, obtendo
e^y,dx + l(xe^y - e^2yr),(-dy)=0 Longrightarrow e^y,dx - (e^2y-x e^y),dy = 0
Agora
M^*(x,y)=e^y, N^*(x,y)=x e^y - e^2y,
e verificamos partial M^*/partial y = e^y=partial N^*/partial x, logo é exata.
Procuramos Psi(x,y) tal que
partial Psipartial x = e^y Longrightarrow Psi(x,y) = x e^y + h(y)
Derivando em y:
partial Psipartial y = x e^y + h'(y)
deve ser igual a N^*(x,y)=x e^y - e^2y. Portanto
h'(y) = -e^2y Longrightarrow h(y) = -tfrac12 e^2y + C
Assim a integral primeira é
Psi(x,y) = x e^y - tfrac12 e^2y = C1

Passo 4

Reescrevendo de forma implícita, a solução geral é
x e^y - tfrac12 e^2y = C1
Podemos multiplicar por 2 e reorganizar como
(e^y)^2 - 2x,e^y + 2C1 = 0,
que é uma equação quadrática em u=e^y. Suas raízes são
e^y = x pm raizx^2 - 2C1
Logo a solução explícita é
y(x) = lnl(x pm raizx^2 - 2C1r)

Passo 5

Para xto+infty analisamos as duas ramificações:
1. “ +”:
e^y = x + raizx^2 - 2C1 sim x + l(x - tfrac2C12xr) =2x - tfracC1x,
logo e^ysim2x e ysimln(2x)=ln x + ln2to+infty.
2. “–”:
e^y = x - raizx^2 - 2C1 sim x - l(x - tfrac2C12xr) =tfracC1x,
logo e^ysim C1/x e ysimln(C1/x)=-ln x +ln C1to-infty.

Resposta

A solução geral implícita é
x e^y - tfrac12 e^2y = C1
Em forma explícita,
y(x)=lnl(x pm raizx^2-2C1r)
Para xto+infty, a “raiz +” dá ysimln(2x)to+infty e a “raiz –” dá ysim-ln x+constto-infty.

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