Encontre a solução geral da EDO dada e determine o comportamento das soluções quando
.
.
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem
e o comportamento das soluções quando
.
Este é um caso de equação não-exata que se torna exata após multiplicação por um fator integrante que depende apenas de .
Este é um caso de equação não-exata que se torna exata após multiplicação por um fator integrante que depende apenas de
Passo 2
Escrevemos em forma diferencial
aqui
e
.
Calculamos
Calculamos
logo não é exata. Buscamos um fator integrante
satisfa-zendo
mas isso depende de
. Em vez disso, testamos
o que indica
.
Passo 3
Multiplicamos toda a equação por
, obtendo
Agora
e verificamos
, logo é exata.
Procuramos
tal que
Derivando em
:
deve ser igual a
. Portanto
Assim a integral primeira é
Passo 4
Reescrevendo de forma implícita, a solução geral é
Podemos multiplicar por
e reorganizar como
que é uma equação quadrática em
. Suas raízes são
Logo a solução explícita é
Passo 5
Para
analisamos as duas ramificações:
. “
”:
logo
e
.
logo
e
.
Resposta
A solução geral implícita é
Em forma explícita,
Para
, a “raiz
” dá
e a “raiz –” dá
.