Use o teste da integral para verificar se as séries abaixo convergem ou divergem:
Passo 1
O enunciado pede para usar o teste da integral e determinar se a série
converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, que exige associar à sequência
uma função
contínua, positiva e decrescente em
, e comparar a convergência de
com a do integral impróprio
.
Passo 2
Definimos
- Para
, e é contínua. - Vamos checar que
é decrescente: Para , , logo . Assim é decrescente em .
Passo 3
Calculamos o integral impróprio
Fazemos a substituição
,
, de modo que
Esse integral é
que é finito.
Passo 4
Pelo teste da integral, como
converge, a série
converge também.
converge também.
Resposta
A série
converge.