Use o teste da integral para verificar se as séries abaixo convergem ou divergem:
sumn=1^+infty ne^n^2

Passo 1

O enunciado pede para usar o teste da integral e determinar se a série
sumn=1^+inftyne^n^2
converge ou diverge. O conteúdo aqui é o teste da integral para séries de termos positivos, que exige associar à sequência an=tfracne^n^2 uma função f(x) contínua, positiva e decrescente em [1,infty), e comparar a convergência de sum an com a do integral impróprio integral1^inftyf(x),dx.

Passo 2

Definimos
f(x)=xe^x^2
  1. Para x>=1, f(x)>0 e é contínua.
  2. Vamos checar que f(x) é decrescente: f'(x) =1cdot e^x^2 - xcdot e^x^2cdot 2xl(e^x^2r)^2 =e^x^2(1-2x^2)e^2x^2 =1-2x^2e^x^2 Para x>=1, 1-2x^2<=1-2<0, logo f'(x)<0. Assim f é decrescente em [1,infty).

Passo 3

Calculamos o integral impróprio
integral1^inftyxe^x^2,dx
Fazemos a substituição u=x^2, du=2x,dx, de modo que
integral1^inftyxe^x^2,dx =12integralu=1^u=inftyu^-1,e^-u,du (na verdade, simplifica para) 12integral1^inftye^-u,du
Esse integral é
12l[-e^-ur]1^infty =12l(0 - (-e^-1)r) =e^-12,
que é finito.

Passo 4

Pelo teste da integral, como integral1^inftyf(x),dx converge, a série
sumn=1^inftyan=sumn=1^inftytfracne^n^2
converge também.

Resposta

A série sumn=1^+inftyne^n^2 converge.

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