1-13 Resolva a equação diferencial.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método da equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo
, a equação característica é
. No nosso caso, a equação é
, então
e
. Assim, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver a equação quadrática
para encontrar os valores de
. Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
Aqui,
,
e
. Substituindo:
Então, temos duas soluções:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como os valores de
são distintos e reais, a solução geral é:
Substituindo
e
:
Onde
e
são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: