1-13 Resolva a equação diferencial.
y^prime prime-y^prime-6 y=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial y'' - y' - 6y = 0 . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos precisar usar o método da equação característica, que nos ajuda a encontrar soluções para esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos montar a equação característica associada à nossa equação diferencial. Para uma equação do tipo y'' + a y' + b y = 0 , a equação característica é r^2 + a r + b = 0 . No nosso caso, a equação é y'' - y' - 6y = 0 , então a = -1 e b = -6 . Assim, a equação característica fica:
r^2 - r - 6 = 0

Passo 3

Agora, vamos resolver a equação quadrática r^2 - r - 6 = 0 para encontrar os valores de r . Podemos usar a fórmula de Bhaskara:
r = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Aqui, a = 1 , b = -1 e c = -6 . Substituindo:
r = -(-1) pm raiz(-1)^2 - 4 cdot 1 cdot (-6)2 cdot 1 = 1 pm raiz1 + 242 = 1 pm 52
Então, temos duas soluções:
r1 = 1 + 52 = 3 e r2 = 1 - 52 = -2

Passo 4

Com os valores de r encontrados, podemos escrever a solução geral da equação diferencial. Como os valores de r são distintos e reais, a solução geral é:
y(x) = C1 e^r1 x + C2 e^r2 x
Substituindo r1 = 3 e r2 = -2 :
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x
Onde C1 e C2 são constantes que podem ser determinadas se tivermos condições iniciais.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y(x) = C1 e^3x + C2 e^-2x

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