13 Seja A=B+i C in Mn(C) uma matriz hermitiana onde B, C in Mn(R). Mostre que barA^t A in Mn(R) se, e somente se, B C=-C B.

Passo 1

Estamos lidando com uma matriz hermitiana A = B + iC, com B, C reais, e queremos mostrar que bar A^t A tem entradas reais se e somente se BC = -CB. Vamos usar a definição de matriz hermitiana e a expansão de A^2.

Passo 2

Como A é hermitiana, vale A = A^* = bar A^t. Separando em parte real e imaginária, escrevemos A = B + iC e A^* = B^t - iC^t. Igualando a parte real e imaginária, obtemos
B = B^t, C^t = -C

Passo 3

Portanto B é simétrica e C é antissimétrica. Em particular, bar A^t = A, e o produto pedido é
bar A^t A = A^2

Passo 4

Agora expandimos A^2:
A^2 = (B + iC)^2 = B^2 + i(BC + CB) - C^2 = (B^2 - C^2) + i,(BC + CB)

Passo 5

Para que A^2 seja uma matriz real, sua parte imaginária deve ser a matriz zero. Logo
BC + CB = 0,isto é,
BC = -CB

Resposta

bar A^t A tem todas as entradas reais se, e somente se, BC = -CB.

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