13 Seja
uma matriz hermitiana onde
. Mostre que
se, e somente se,
.
Passo 1
Estamos lidando com uma matriz hermitiana
, com
reais, e queremos mostrar que
tem entradas reais se e somente se
. Vamos usar a definição de matriz hermitiana e a expansão de
.
Passo 2
Como
é hermitiana, vale
. Separando em parte real e imaginária, escrevemos
e
. Igualando a parte real e imaginária, obtemos
Passo 3
Portanto
é simétrica e
é antissimétrica. Em particular,
, e o produto pedido é
Passo 4
Agora expandimos
:
Passo 5
Para que
seja uma matriz real, sua parte imaginária deve ser a matriz zero. Logo