21 Demonstre que duas matrizes
com os mesmos polinômios mínimo e característico são semelhantes.
Passo 1
O problema pede para mostrar que duas matrizes A e B de 3×3 com mesmo polinômio característico χ(t) e mesmo polinômio mínimo m(t) são semelhantes. Vamos usar a teoria da forma de Jordan (ou fatores invariantes) para 3×3.
Passo 2
Pela teoria, duas matrizes são semelhantes se, e somente se, têm os mesmos fatores invariantes (ou equivalente: a mesma forma de Jordan). Em dimensão 3, os fatores invariantes f₁(t), f₂(t), f₃(t) satisfazem f₁∣f₂∣f₃, f₁f₂f₃=χ(t) e f₃=m(t). Isso significa que χ(t) e m(t) determinam unicamente a sequência (f₁,f₂,f₃).
Passo 3
Interpretando via Jordan, o polinômio característico dá as multiplicidades algébricas de cada autovalor e o polinômio mínimo indica, para cada autovalor, o tamanho do maior bloco de Jordan. Em 3×3 essas duas informações fixam de vez o diagrama de blocos.
Passo 4
Listamos os casos possíveis em 3×3: (i) três autovalores distintos → m(t) tem fatores lineares distintos → ambas são diagonalizáveis com mesmos valores próprios; (ii) um autovalor de multiplicidade 2 e outro simples → m(t) indica se há bloco de Jordan 2×2 ou se é diagonalizável; (iii) único autovalor de multiplicidade 3 → m(t)=(t−λ), (t−λ)² ou (t−λ)³ define se há blocos [1,1,1], [2,1] ou [3]. Em cada caso a forma de Jordan fica determinada unicamente.
Passo 5
Como A e B têm o mesmo χ(t) e o mesmo m(t), entram sempre no mesmo caso acima e, portanto, têm a mesma forma de Jordan. Isso implica que A e B são semelhantes.
Resposta
A e B têm necessariamente a mesma forma de Jordan em M₃, logo são semelhantes.