20 Encontre a forma canônica racional para o bloco de Jordan cccclambda & 1 & 0 & 0 0 & lambda & 1 & 0 0 & 0 & lambda & 1 0 & 0 & 0 & lambda.

Passo 1

O enunciado dá um bloco de Jordan de ordem 4 com valor próprio lambda e pede a forma canônica racional, ou seja, a forma de Frobenius (companion) desse mesmo bloco. O conteúdo é teoria de polinômios invariantes, polinômio característico, minimal e matriz companheira.

Passo 2

Primeiro, vamos achar o polinômio característico do bloco de Jordan. Sejam J o bloco, então
chiJ(x)=detl(xI4-Jr)=(x-lambda)^4

Passo 3

O polinômio minimal de um bloco de Jordan de tamanho 4 é também o menor polinômio que anula J, e como há uma única cadeia de tamanho 4,
mJ(x)=(x-lambda)^4

Passo 4

Como há apenas um fator invariante, ele coincide com o minimal e com o característico: o único polinômio invariante é (x-lambda)^4.

Passo 5

A forma canônica racional para um único fator invariante p(x)=x^4-4lambda x^3+6lambda^2x^2-4lambda^3x+lambda^4 é a matriz companheira de p(x). Construímos a matriz companheira cuja última coluna é o vetor l(-a0,-a1,-a2,-a3r)^T e com 1s na subdiagonal: para
p(x)=x^4+a3x^3+a2x^2+a1x+a0
temos
a3=-4lambda, a2=6lambda^2, a1=-4lambda^3, a0=lambda^4

Passo 6

Logo a forma canônica racional (companheira) de J é:
0&0&0&-lambda^41&0&0&4lambda^30&1&0&-6lambda^20&0&1&4lambda

Resposta

A forma canônica racional é
0 & 0 & 0 & -lambda^4 1 & 0 & 0 & 4lambda^3 0 & 1 & 0 & -6lambda^2 0 & 0 & 1 & 4lambda

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