20 Encontre a forma canônica racional para o bloco de Jordan .
Passo 1
O enunciado dá um bloco de Jordan de ordem 4 com valor próprio lambda e pede a forma canônica racional, ou seja, a forma de Frobenius (companion) desse mesmo bloco. O conteúdo é teoria de polinômios invariantes, polinômio característico, minimal e matriz companheira.
Passo 2
Primeiro, vamos achar o polinômio característico do bloco de Jordan. Sejam J o bloco, então
chiJ(x)=detl(xI4-Jr)=(x-lambda)^4
Passo 3
O polinômio minimal de um bloco de Jordan de tamanho 4 é também o menor polinômio que anula J, e como há uma única cadeia de tamanho 4,
mJ(x)=(x-lambda)^4
Passo 4
Como há apenas um fator invariante, ele coincide com o minimal e com o característico: o único polinômio invariante é (x-lambda)^4.
Passo 5
A forma canônica racional para um único fator invariante p(x)=x^4-4lambda x^3+6lambda^2x^2-4lambda^3x+lambda^4 é a matriz companheira de p(x). Construímos a matriz companheira cuja última coluna é o vetor l(-a0,-a1,-a2,-a3r)^T e com 1s na subdiagonal: para