Ache uma base e a dimensão do espaço de soluções de cada um dos sistemas lineares abaixo em R^n :
cx1+x2+x3+x4=0 2 x1-x2+x3+x4=0 -x1+2 x2+4 x3-x4=0

Passo 1

O sistema homogêneo em
R^4 é dado por
x1+x2+x3+x4=0 2x1-x2+x3+x4=0 - x1+2x2+4x3-x4=0
Conteúdo: sistema linear homogêneo e espaço nulo. Vamos usar eliminação de Gauss para encontrar a base e a dimensão do espaço solução.

Passo 2

Começamos montando a matriz de coeficientes e aplicando operações de linha para zerar abaixo do primeiro pivô (coluna 1):
1 & 1 & 1 & 1 2 & -1 & 1 & 1 -1 & 2 & 4 & -1 xrightarrowR2to R2-2R1,,R3to R3+R1 1 & 1 & 1 & 1 0 & -3 & -1 & -1 0 & 3 & 5 & 0

Passo 3

Em seguida, zeramos abaixo do segundo pivô (coluna 2):
1 & 1 & 1 & 1 0 & -3 & -1 & -1 0 & 3 & 5 & 0 xrightarrowR3to R3+R2 1 & 1 & 1 & 1 0 & -3 & -1 & -1 0 & 0 & 4 & -1

Passo 4

Agora vamos obter a forma reduzida: normalizamos os pivôs e eliminamos acima deles:
R2to -tfrac13R2, R3to tfrac14R3
1 & 1 & 1 & 1 0 & 1 & tfrac13 & tfrac13 0 & 0 & 1 & -tfrac14
Então eliminamos acima do pivô da coluna 3 e da coluna 2:
1 & 0 & 0 & tfrac56 0 & 1 & 0 & tfrac512 0 & 0 & 1 & -tfrac14

Passo 5

Da forma reduzida extraímos as equações:
x1+tfrac56x4=0, x2+tfrac512x4=0, x3-tfrac14x4=0
Assim
x1=-tfrac56x4, ;x2=-tfrac512x4, ;x3=tfrac14x4, ;x4= t,

Passo 6

A solução geral em forma paramétrica é
(x1,x2,x3,x4)=tl(-tfrac56,-tfrac512,tfrac14,1r)
Escolhendo o parâmetro para ter coordenadas inteiras, por exemplo t=12s, obtemos o vetor gerador
(x1,x2,x3,x4)=s(-10,-5,3,12).

Passo 7

O espaço solução é 1-dimensional, com base dada por
(-10,-5,3,12)

Resposta

Base = {(-10,-5,3,12)}, dimensão = 1.

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