-13 Seja f uma função com as seguintes propriedades:
(1) f é definida para cada inteiro positivo n;
(2) f(n) é um inteiro;
(3) f(2)=2;
(4) f(m \cdot n)=f(m) \cdot f(n), para todos os m e n;
(5) f(m)>f(n) se m>n.
Prove que f(n)=n para todo inteiro positivo n.
Passo 1
O enunciado define uma função f\colon \mathbb{Z}^+\to\mathbb{Z} que é multiplicativa, estritamente crescente e satisfaz f(2)=2. Queremos mostrar que, sob essas hipóteses,
\forall n\in\mathbb{Z}^+,\quad f(n)=n.
O conteúdo usado será: propriedades de função multiplicativa em inteiros positivos, valor em 1, valores em potências de 2, e um argumento por indução nos primos.
Passo 2
Mostramos primeiro que f(1)=1. Da multiplicatividade,
f(1)=f(1\cdot1)=f(1)\,f(1)=f(1)^2,
logo f(1)=0 ou f(1)=1. Mas como f é estritamente crescente e 1<2, tem-se f(1)<f(2)=2 e também f(1)\in\mathbb{Z}, daí f(1)=1.
Passo 3
Para cada k\ge1, pela propriedade multiplicativa e usando f(2)=2 repetidamente,