Quantos números reais x satisfazem a equação
Passo 1
O enunciado pede o número de soluções reais de
para
. Aqui temos de:
- determinar o domínio de definição (onde
existe); - comparar a função monótona
com a função periódica ; - contar interseções sabendo que
oscila entre e com período , enquanto cresce de a .
Passo 2
Domínio: como
exige
, só há soluções para
. Além disso,
, logo uma solução só existe se
Resolvendo essas duas desigualdades:
Portanto só procuramos soluções em
Passo 3
O gráfico de
é periódico com período
e oscila entre
e
. A curva
é estritamente crescente e varia de
em
até
em
. Sempre que
estiver estritamente entre
e
, em cada período completo de
teremos exatamente duas interseções (uma subindo e outra descendo), porque
atinge
e
em cada ciclo enquanto
muda muito lentamente no mesmo intervalo de
.
Passo 4
Contagem de períodos completos em
: o comprimento desse intervalo é
então o número de períodos completos é
Em cada um desses 79 períodos completos ocorrem 2 interseções, totalizando
soluções.
Passo 5
Resta analisar o trecho final, que é um “período parcial” de comprimento
Nesse pedaço a função seno parte de
, sobe até
(ultrapassa
que está próximo de 1) e depois desce abaixo de
no fim
em
. Logo há mais 2 cruzamentos.
Resposta
O total de soluções reais é
.