\bigcirc 11 Quantos números reais x satisfazem a equação
\frac{1}{5} \log _{2} x=\sin (5 \pi x) ?

Passo 1

O enunciado pede o número de soluções reais de
\frac{1}{5}\log_{2}x = \sin(5\pi x)
para x\in\mathbb{R}. Aqui temos de:
  • determinar o domínio de definição (onde \log_{2}x existe);
  • comparar a função monótona f(x)=\tfrac{1}{5}\log_{2}x com a função periódica g(x)=\sin(5\pi x);
  • contar interseções sabendo que g oscila entre -1 e 1 com período T=\tfrac{2}{5}, enquanto f cresce de -\infty a +\infty.

Passo 2

Domínio: como \log_{2}x exige x>0, só há soluções para x>0. Além disso, \sin(5\pi x)\in[-1,1], logo uma solução só existe se
-1 \;\le\; \tfrac{1}{5}\log_{2}x \;\le\; 1.
Resolvendo essas duas desigualdades:
\tfrac{1}{5}\log_{2}x = -1 \;\Longrightarrow\; \log_{2}x=-5 \;\Longrightarrow\; x=2^{-5}=\tfrac1{32},
\tfrac{1}{5}\log_{2}x = 1 \;\Longrightarrow\; \log_{2}x=5 \;\Longrightarrow\; x=2^{5}=32.
Portanto só procuramos soluções em
\tfrac1{32} < x < 32.

Passo 3

O gráfico de g(x)=\sin(5\pi x) é periódico com período
T = \frac{2\pi}{5\pi} = \frac{2}{5} = 0{,}4,
e oscila entre -1 e 1. A curva f(x)=\tfrac{1}{5}\log_{2}x é estritamente crescente e varia de -1 em x=\tfrac1{32} até +1 em x=32. Sempre que f(x) estiver estritamente entre -1 e 1, em cada período completo de g teremos exatamente duas interseções (uma subindo e outra descendo), porque g atinge -1 e +1 em cada ciclo enquanto f muda muito lentamente no mesmo intervalo de x.

Passo 4

Contagem de períodos completos em \bigl(\tfrac1{32},32\bigr): o comprimento desse intervalo é
32 - \tfrac1{32} = 31{,}96875,
então o número de períodos completos é
\Bigl\lfloor \frac{31{,}96875}{0{,}4}\Bigr\rfloor = \lfloor 79{,}921875\rfloor = 79.
Em cada um desses 79 períodos completos ocorrem 2 interseções, totalizando 2\times79 = 158 soluções.

Passo 5

Resta analisar o trecho final, que é um “período parcial” de comprimento
31{,}96875 - 79\times0{,}4 = 31{,}96875 - 31{,}6 = 0{,}36875 < 0{,}4.
Nesse pedaço a função seno parte de \sin>f, sobe até \sin=1 (ultrapassa f que está próximo de 1) e depois desce abaixo de f no fim \sin< f em x=32. Logo há mais 2 cruzamentos.

Resposta

O total de soluções reais é 158 + 2 = 160.

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