14 Seja
, não identicamente nula, tal que
para todos os reais
e
.
(a) Mostre que
e
.
(b) Mostre que
, para todo
real.
(c) Existe, de fato, tal função?
(a) Mostre que
(b) Mostre que
(c) Existe, de fato, tal função?
Passo 1
O enunciado dá uma função
, não identicamente nula, tal que
para todos
e ainda
.
É uma equação funcional do tipo de d’Alembert/Chebyshev. Vamos usar valores especiais de para achar
,
,
,
; depois mostrar a periodicidade de período 4; por fim, dar um exemplo.
É uma equação funcional do tipo de d’Alembert/Chebyshev. Vamos usar valores especiais de
Passo 2
Escolhendo
na equação,
e como
não é identicamente zero, segue
Tomando agora
,
logo obtemos a fórmula de duplicação
Passo 3
Para
em
e usando
e
, vem
Para achar
, escolhemos
e
na equação original:
Passo 4
Para
em
:
Passo 5
Para
na equação original temos
Fazendo
nessa relação dá
Finalmente
ou seja, período 4.
Passo 6
Uma solução não trivial é
pois
e
.
Resposta
(a)
,
,
,
.
(b) para todo
.
(c) Sim; por exemplo .
(b)
(c) Sim; por exemplo