Ex. 12. Seja a um elemento de ordem finita n num grupo qualquer, isto é, |a|=n. Para um inteiro positivo k, denotemos
\begin{aligned} (n, k) & =\text { máximo divisor comum de } n \text { e } k \\\ {[n, k] } & =\text { mínimo múltiplo comum de } n \text { e } k \end{aligned}
O que o enunciado dá e o que pede. Temos um elemento a de um grupo qualquer com ordem finita |a|=n. Para um inteiro positivo k definem-se (n,k) como o máximo divisor comum de n e k e [n,k] como o mínimo múltiplo comum de n e k.
O pedido é mostrar, para o elemento a^k, que a sua ordem satisfaz
Lembrando a definição e uma propriedade útil da ordem. A ordem de um elemento g num grupo, denotada |g|, é o menor inteiro positivo t tal que g^{t}=e (identidade). Uma propriedade importante que usaremos: se |g|=n então, para todo inteiro m,
g^{m}=e \quad\Longleftrightarrow\quad n\\ \text{divide}\\ m.
Justificativa curta: escrevendo m=qn+r com 0\le r<n (algoritmo da divisão) obtemos g^{m}=g^{qn+r}=(g^{n})^{q}g^{r}=g^{r}. Se g^{m}=e então g^{r}=e e pela minimalidade de n segue r=0, logo n\mid m. O outro sentido é óbvio: se n\mid m então g^{m}=e.
Passo 3
Caracterizar a ordem de a^{k}. Seja m=\left|a^{k}\right|. Pelo que vimos, (a^{k})^{m}=e é equivalente a a^{k m}=e, e usando que |a|=n isso equivale a
n\\ \text{divide}\\ k m.
Portanto m é o menor inteiro positivo tal que n\mid k m. Nosso objetivo é encontrar explicitamente esse menor m.
Passo 4
Reduzir o problema usando o máximo divisor comum. Defina d=(n,k). Escrevemos
n=d\,n_1,\qquad k=d\,k_1,
onde \gcd(n_1,k_1)=1. A condição n\mid k m torna-se
d n_1 \mid d k_1 m \quad\Longleftrightarrow\quad n_1 \mid k_1 m.
Como \gcd(n_1,k_1)=1, a divisibilidade n_1\mid k_1 m implica n_1\mid m (porque nenhum fator primo de n_1 divide k_1). Então todo m que satisfaça n\mid k m é múltiplo de n_1. Logo o menor m>0 com essa propriedade é exatamente m=n_1. Assim
Portanto a expressão alternativa coincide com a que já encontramos para \left|a^{k}\right|.
Passo 6
Resumo final do argumento em palavras: \left|a^{k}\right| é o menor m>0 tal que a^{k m}=e, isto é, o menor m com n\mid k m. Escrevendo d=(n,k) e cancelando fatores comuns conclui-se que esse menor m é n/d. Usando a identidade [n,k]=n k/(n,k) obtemos também [n,k]/k=n/(n,k). Logo as duas fórmulas do enunciado são verdadeiras.