Ex. 10. Mostre que todo grupo abeliano finito possui um elemento cuja ordem é o mínimo múltiplo comum de todas as ordens de elementos do grupo.
(Dica. Use um argumento indutivo baseado no exercício anterior, observando que o mínimo múltiplo comum de
e
é
.)
(Dica. Use um argumento indutivo baseado no exercício anterior, observando que o mínimo múltiplo comum de
Passo 1
O enunciado dá um grupo finito abeliano
e pede para mostrar que existe um elemento de
cuja ordem é o mínimo múltiplo comum de todas as ordens dos elementos de
.
Informações e objetivos claros:
- Dado:
é um grupo finito e abeliano. - Para cada
denote a ordem de . - Defina
- Objetivo: provar que existe
tal que .
Passo 2
Vamos trabalhar por decomposição em componentes de
-potência (componentes primárias). Primeiro eu explico e mostro uma propriedade básica e útil: para cada primo
que divide
definimos
Mostro que
é subgrupo de
.
Explicação e prova:
- Se
então e para alguns . Como é abeliano, é um subgrupo finito cujas ordens dos elementos são potências de ; em particular tem ordem potência de , e também. Logo é fechado por produto e inverso, isto é, é subgrupo.
Comentário didático: a ideia é que
é o conjunto de todos elementos cujo comportamento de ordem envolve apenas o primo
; em termos de teoria, são as Sylow
-subgupos quando o grupo é abeliano.
Passo 3
Mostro que todo elemento
se escreve de forma única como produto dos seus componentes
-primários, isto é, mostro que
(interior product), onde o produto é tomado sobre todos os primos
que aparecem nas ordens dos elementos de
.
Construção explícita e prova:
- Tome
e seja . Fatore como
onde
percorre os primos que dividem
(os
são zero para os outros primos). Para cada primo
defina
- Verificação de propriedades: note que
, e se então tem ordem que é potência de e, em particular, a ordem de é uma potência de . Portanto . - Produto: como
é abeliano, os comutam e multiplicando todos obtemos
pois para cada primo
o expoente escolhido faz com que os fatores se ajustem para recuperar
. A decomposição é única porque se
com
então, olhando para ordens por primos distintos, cada
.
- Conclusão: cada elemento se decompõe unicamente em produto de seus componentes
-primários, e a interseção de diferentes é trivial.
Didática: essa construção é uma versão elementar da decomposição primária (ou decomposição em Sylow
-subgrupos) adaptada ao caso abeliano; ela evita usar diretamente teoremas pesados e usa exponenciação simples.
Passo 4
Agora relaciono o número
com as ordens máximas em cada componente
.
Defina para cada primo
que ocorre em
o número
Como
é finito, esse máximo existe. Note que cada ordem
para
fatoriza como
com
, logo
Explicação: qualquer ordem de elemento não pode ter potência de
maior que
por definição do máximo, e existe algum elemento em
que atinge
. Portanto o mínimo múltiplo comum de todas as ordens é exatamente o produto dos máximos
.
Passo 5
Em cada subgrupo
escolho um elemento
tal que
. Isso é possível porque definimos
como máximo de ordens em
.
Comentário didático: aqui só usamos que o conjunto de ordens em
é finito e portanto tem máximo; escolhemos um elemento que atinge esse máximo.
Passo 6
Construo o elemento candidato no grupo inteiro
:
Esse produto faz sentido e é bem definido porque há apenas finitely many primos
que realmente aparecem (os outros
e
). Como os
pertencem a subgrupos de ordens de potências de primos distintos, suas ordens são potências de primos distintos e, portanto, entre quaisquer
tem-se
.
Agora prove que
. Para isso uso um lema simples:
Lema (ordem do produto de elementos de ordens coprimas). Se
comutam,
,
e
, então
.
Prova do lema (rápida, mas completa):
, logo
divide
. Seja
. Então
. O elemento à esquerda tem ordem que divide
e o da direita tem ordem que divide
. Como
, a única possibilidade é que ambos sejam a identidade, logo
e
. Assim
. Combinando as divisibilidades obtém-se
. QED.
Aplicando o lema iterativamente (ou observando que ordens das
são potências de primos distintos), obtemos
Didática: a condição de comutatividade é satisfeita porque
é abeliano; a condição de coprimalidade das ordens é satisfeita porque cada
é uma potência de um primo distinto.
Passo 7
Conclusão final: o elemento
pertence a
e tem
, que é exatamente o mínimo múltiplo comum de todas as ordens dos elementos de
. Portanto existe um elemento em
cuja ordem é o
pedido.
Motivação e dica prática para a prova: se precisar reproduzir esse raciocínio em prova curta, diga que separam-se os componentes primários
, escolhem-se elementos de ordem maximal em cada
e multiplicam-se — as ordens são potências de primos distintos, então o produto tem ordem igual ao
.
Resposta
Existe
tal que
.