Ex. 10. Mostre que todo grupo abeliano finito possui um elemento cuja ordem é o mínimo múltiplo comum de todas as ordens de elementos do grupo.
(Dica. Use um argumento indutivo baseado no exercício anterior, observando que o mínimo múltiplo comum de m, n e q é [[m, n], q].)

Passo 1

O enunciado dá um grupo finito abeliano G e pede para mostrar que existe um elemento de G cuja ordem é o mínimo múltiplo comum de todas as ordens dos elementos de G.
Informações e objetivos claros:
  • Dado: G é um grupo finito e abeliano.
  • Para cada x\in G denote \operatorname{ord}(x) a ordem de x.
  • Defina
m=\operatorname{lcm}\{\operatorname{ord}(x): x\in G\}.
  • Objetivo: provar que existe g\in G tal que \operatorname{ord}(g)=m.

Passo 2

Vamos trabalhar por decomposição em componentes de p-potência (componentes primárias). Primeiro eu explico e mostro uma propriedade básica e útil: para cada primo p que divide |G| definimos
G_p=\{x\in G:\operatorname{ord}(x)\text{ é uma potência de }p\}.éê
Mostro que G_p é subgrupo de G.
Explicação e prova:
  • Se x,y\in G_p então \operatorname{ord}(x)=p^a e \operatorname{ord}(y)=p^b para alguns a,b\ge0. Como G é abeliano, \langle x,y\rangle é um subgrupo finito cujas ordens dos elementos são potências de p; em particular xy tem ordem potência de p, e x^{-1} também. Logo G_p é fechado por produto e inverso, isto é, é subgrupo.
Comentário didático: a ideia é que G_p é o conjunto de todos elementos cujo comportamento de ordem envolve apenas o primo p; em termos de teoria, são as Sylow p-subgupos quando o grupo é abeliano.

Passo 3

Mostro que todo elemento g\in G se escreve de forma única como produto dos seus componentes p-primários, isto é, mostro que
G=\prod_{p} G_p
(interior product), onde o produto é tomado sobre todos os primos p que aparecem nas ordens dos elementos de G.
Construção explícita e prova:
  • Tome g\in G e seja n=\operatorname{ord}(g). Fatore n como
n=\prod_{p} p^{a_p},
onde p percorre os primos que dividem n (os a_p são zero para os outros primos). Para cada primo p defina
g_p = g^{\,n/p^{a_p}}.
  • Verificação de propriedades: note que (g_p)^{p^{a_p}}=g^{n}=e, e se q\ne p então (g_p)^{p^{a_q}}=g^{n\cdot p^{a_q}/p^{a_p}} tem ordem que é potência de p e, em particular, a ordem de g_p é uma potência de p. Portanto g_p\in G_p.
  • Produto: como G é abeliano, os g_p comutam e multiplicando todos obtemos
\prod_p g_p = g,
pois para cada primo p o expoente escolhido faz com que os fatores se ajustem para recuperar g. A decomposição é única porque se \prod_p h_p=e com h_p\in G_p então, olhando para ordens por primos distintos, cada h_p=e.
  • Conclusão: cada elemento se decompõe unicamente em produto de seus componentes p-primários, e a interseção de diferentes G_p é trivial.
Didática: essa construção é uma versão elementar da decomposição primária (ou decomposição em Sylow p-subgrupos) adaptada ao caso abeliano; ela evita usar diretamente teoremas pesados e usa exponenciação simples.

Passo 4

Agora relaciono o número m=\operatorname{lcm}\{\operatorname{ord}(x):x\in G\} com as ordens máximas em cada componente G_p.
Defina para cada primo p que ocorre em |G| o número
p^{e_p}=\max\{\operatorname{ord}(x): x\in G_p\}.
Como G_p é finito, esse máximo existe. Note que cada ordem \operatorname{ord}(x) para x\in G fatoriza como \prod_p p^{b_p} com 0\le b_p\le e_p, logo
m=\prod_p p^{e_p}.
Explicação: qualquer ordem de elemento não pode ter potência de p maior que p^{e_p} por definição do máximo, e existe algum elemento em G_p que atinge p^{e_p}. Portanto o mínimo múltiplo comum de todas as ordens é exatamente o produto dos máximos p^{e_p}.

Passo 5

Em cada subgrupo G_p escolho um elemento a_p tal que \operatorname{ord}(a_p)=p^{e_p}. Isso é possível porque definimos p^{e_p} como máximo de ordens em G_p.
Comentário didático: aqui só usamos que o conjunto de ordens em G_p é finito e portanto tem máximo; escolhemos um elemento que atinge esse máximo.

Passo 6

Construo o elemento candidato no grupo inteiro G:
a=\prod_p a_p.
Esse produto faz sentido e é bem definido porque há apenas finitely many primos p que realmente aparecem (os outros e_p=0 e a_p=e). Como os a_p pertencem a subgrupos de ordens de potências de primos distintos, suas ordens são potências de primos distintos e, portanto, entre quaisquer p\ne q tem-se \gcd(\operatorname{ord}(a_p),\operatorname{ord}(a_q))=1.
Agora prove que \operatorname{ord}(a)=\prod_p p^{e_p}=m. Para isso uso um lema simples:
Lema (ordem do produto de elementos de ordens coprimas). Se x,y comutam, \operatorname{ord}(x)=r, \operatorname{ord}(y)=s e \gcd(r,s)=1, então \operatorname{ord}(xy)=rs.
Prova do lema (rápida, mas completa): (xy)^{rs}=x^{rs}y^{rs}=(x^{r})^{s}(y^{s})^{r}=e, logo \operatorname{ord}(xy) divide rs. Seja t=\operatorname{ord}(xy). Então x^t=(xy)^t y^{-t}=y^{-t}. O elemento à esquerda tem ordem que divide r e o da direita tem ordem que divide s. Como \gcd(r,s)=1, a única possibilidade é que ambos sejam a identidade, logo r\mid t e s\mid t. Assim rs\mid t. Combinando as divisibilidades obtém-se t=rs. QED.
Aplicando o lema iterativamente (ou observando que ordens das a_p são potências de primos distintos), obtemos
\operatorname{ord}(a)=\prod_p \operatorname{ord}(a_p)=\prod_p p^{e_p}=m.
Didática: a condição de comutatividade é satisfeita porque G é abeliano; a condição de coprimalidade das ordens é satisfeita porque cada \operatorname{ord}(a_p) é uma potência de um primo distinto.

Passo 7

Conclusão final: o elemento a=\prod_p a_p pertence a G e tem \operatorname{ord}(a)=m, que é exatamente o mínimo múltiplo comum de todas as ordens dos elementos de G. Portanto existe um elemento em G cuja ordem é o \operatorname{lcm} pedido.
Motivação e dica prática para a prova: se precisar reproduzir esse raciocínio em prova curta, diga que separam-se os componentes primários G_p, escolhem-se elementos de ordem maximal em cada G_p e multiplicam-se — as ordens são potências de primos distintos, então o produto tem ordem igual ao \operatorname{lcm}.

Resposta

Existe g\in G tal que \operatorname{ord}(g)=\operatorname{lcm}\{\operatorname{ord}(x):x\in G\}.

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