Determine quais das seguintes equações diferenciais de primeira ordem são separáveis. Dica: tente fatorar o lado direito se a equação não parecer inicialmente separável.
x^{\prime}=x+\cos (t)

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
x' = x + \cos(t).
A pergunta é: essa equação é separável? Ou seja, pode ser escrita na forma produto de uma função de x por uma função de t, permitindo reescrever como
\frac{dx}{g(x)} = f(t)\,dt?

Passo 2

Vou explicar claramente o que significa “separável” (aula rápida e prática).
  • Dizemos que a equação é separável se existir uma função g(x) e uma função f(t) tais que
x' = g(x)\,f(t).
  • Se isso acontece, podemos separar as variáveis: dividir por g(x) e multiplicar por dt para obter
\frac{dx}{g(x)} = f(t)\,dt,
e integrar cada lado em suas variáveis (integração em x e em t separadamente).
  • Exemplo simples e familiar: a equação x' = x\cos t é separável porque pode ser escrita como x' = g(x)f(t) com g(x)=x e f(t)=\cos t; daí \frac{dx}{x}=\cos t\,dt.

Passo 3

Agora tento ver se o lado direito x+\cos t pode ser colocado como um produto g(x)h(t).
Suponha, para tentar obter uma contradição, que existam funções g(x) e h(t) tais que, para todo x e todo t,
x + \cos t = g(x)\,h(t).
Vou explorar as implicações disso.

Passo 4

Fixe dois instantes t_1 e t_2 tais que \cos t_1 \neq \cos t_2 (é fácil achar esses t, por exemplo t_1=0 e t_2=\pi/2). Suponha também que h(t_1) e h(t_2) sejam diferentes de zero (se algum h(t_i)=0 para todos os t a identidade falha imediatamente, ver abaixo).
Para esses t_i a igualdade dá, para todo x,
g(x) = \frac{x + \cos t_1}{h(t_1)} = \frac{x + \cos t_2}{h(t_2)}.
Isso significa que a mesma função g(x) é simultaneamente uma função afim em x com coeficiente de x igual a 1/h(t_1) e também com coeficiente igual a 1/h(t_2). Portanto devemos ter
\frac{1}{h(t_1)} = \frac{1}{h(t_2)} \quad\Rightarrow\quad h(t_1)=h(t_2).
Com isso, voltando às constantes, obtemos
\frac{\cos t_1}{h(t_1)} = \frac{\cos t_2}{h(t_2)} \quad\Rightarrow\quad \cos t_1 = \cos t_2,
o que contradiz a escolha de t_1,t_2. Logo a suposição de que existe tal fatoração g(x)h(t) é impossível.

Passo 5

Verificação de casos limites: poderia h(t) ser identicamente zero? Se h(t)\equiv 0 então g(x)h(t)\equiv 0 e a igualdade x+\cos t=0 teria de valer para todo x,t, o que é absurdo. Poderia g(x) ser constante? Se g(x)\equiv c então x+\cos t = c\,h(t) e o lado esquerdo depende de x enquanto o direito não depende de x exceto via h(t) — impossível. Portanto não há nenhuma escolha admissível que transforme x+\cos t num produto de função só de x por função só de t.

Passo 6

Conclusão didática: a equação não é separável. Uma observação útil para a prova: quando o lado direito é soma de uma função de x com uma função de t (aqui x + \cos t), normalmente ela não é separável; em geral esses casos são equações lineares de primeira ordem, que se resolvem por fator integrante em vez de separação de variáveis. Para completar o aprendizado, eis rapidamente como resolver essa equação (apenas para prática, não é pedido): reescreve-se como
x' - x = \cos t,
usa-se fator integrante e^{-t}, obtendo (e^{-t}x)' = e^{-t}\cos t, integra-se e chega-se à solução geral
x(t) = \tfrac{1}{2}(\sin t - \cos t) + C e^{t},
mas isso é complementar — o ponto principal aqui é: a equação não é separável.

Resposta

Não é separável.

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