Determine quais das seguintes equações diferenciais de primeira ordem são separáveis. Dica: tente fatorar o lado direito se a equação não parecer inicialmente separável.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de primeira ordem
A pergunta é: essa equação é separável? Ou seja, pode ser escrita na forma produto de uma função de
por uma função de
, permitindo reescrever como
Passo 2
Vou explicar claramente o que significa “separável” (aula rápida e prática).
- Dizemos que a equação é separável se existir uma função
e uma função tais que
- Se isso acontece, podemos separar as variáveis: dividir por
e multiplicar por para obter
e integrar cada lado em suas variáveis (integração em
e em
separadamente).
- Exemplo simples e familiar: a equação
é separável porque pode ser escrita como com e ; daí .
Passo 3
Agora tento ver se o lado direito
pode ser colocado como um produto
.
Suponha, para tentar obter uma contradição, que existam funções e
tais que, para todo
e todo
,
Suponha, para tentar obter uma contradição, que existam funções
Vou explorar as implicações disso.
Passo 4
Fixe dois instantes
e
tais que
(é fácil achar esses
, por exemplo
e
). Suponha também que
e
sejam diferentes de zero (se algum
para todos os
a identidade falha imediatamente, ver abaixo).
Para esses a igualdade dá, para todo
,
Para esses
Isso significa que a mesma função
é simultaneamente uma função afim em
com coeficiente de
igual a
e também com coeficiente igual a
. Portanto devemos ter
Com isso, voltando às constantes, obtemos
o que contradiz a escolha de
. Logo a suposição de que existe tal fatoração
é impossível.
Passo 5
Verificação de casos limites: poderia
ser identicamente zero? Se
então
e a igualdade
teria de valer para todo
, o que é absurdo. Poderia
ser constante? Se
então
e o lado esquerdo depende de
enquanto o direito não depende de
exceto via
— impossível. Portanto não há nenhuma escolha admissível que transforme
num produto de função só de
por função só de
.
Passo 6
Conclusão didática: a equação não é separável. Uma observação útil para a prova: quando o lado direito é soma de uma função de
com uma função de
(aqui
), normalmente ela não é separável; em geral esses casos são equações lineares de primeira ordem, que se resolvem por fator integrante em vez de separação de variáveis. Para completar o aprendizado, eis rapidamente como resolver essa equação (apenas para prática, não é pedido): reescreve-se como
usa-se fator integrante
, obtendo
, integra-se e chega-se à solução geral
mas isso é complementar — o ponto principal aqui é: a equação não é separável.
Resposta
Não é separável.