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Seja
a transformação linear tal que
,
e
. Determine
e a dimensão do núcleo e da imagem de
.
Seja
Passo 1
O enunciado dá uma transformação linear
com valores em vetores da base dados por
,
,
e
.
Precisamos achar a fórmula de e depois
e
.
com valores em vetores da base dados por
Precisamos achar a fórmula de
Passo 2
Note que
. Logo
Como
, segue
Passo 3
Para um vetor arbitrário
, pela linearidade
Substituindo cada imagem:
Somando coordenadas, obtemos
Passo 4
Os vetores
geram a imagem. Montando a matriz
com essas colunas e fazendo eliminação gaussiana, verifica-se que o posto é
. Assim
Passo 5
Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity),
Como
, segue