13
Seja T: R^4 R^3 a transformação linear tal que T(1,0,0,0)=(1,-2,1), T(0,1,0,1)=(-1,0,1), T(0,0,1,0)= (0,-1,2) e T(0,0,0,1)=(1,-3,1). Determine T(x, y, z, w) e a dimensão do núcleo e da imagem de T.

Passo 1

O enunciado dá uma transformação linear
TcolonR^4toR^3
com valores em vetores da base dados por
T(1,0,0,0)=(1,-2,1),
T(0,1,0,1)=(-1,0,1),
T(0,0,1,0)=(0,-1,2) e
T(0,0,0,1)=(1,-3,1).
Precisamos achar a fórmula de T(x,y,z,w) e depois dim(ker T) e dim(Im,T).

Passo 2

Note que (0,1,0,1)=e2+e4. Logo
T(e2+e4)=T(e2)+T(e4)=(-1,0,1)
Como T(e4)=(1,-3,1), segue
T(e2)=(-1,0,1)-T(e4)=(-1,0,1)-(1,-3,1)=(-2,3,0)

Passo 3

Para um vetor arbitrário (x,y,z,w)inR^4, pela linearidade
T(x,y,z,w)=x,T(e1)+y,T(e2)+z,T(e3)+w,T(e4)
Substituindo cada imagem:
T(x,y,z,w)=x(1,-2,1)+y(-2,3,0)+z(0,-1,2)+w(1,-3,1)
Somando coordenadas, obtemos
T(x,y,z,w)=(x-2y+w,;-2x+3y-z-3w,;x+2z+w)

Passo 4

Os vetores
T(e1)=(1,-2,1), T(e2)=(-2,3,0), T(e3)=(0,-1,2), T(e4)=(1,-3,1)
geram a imagem. Montando a matriz 3times4 com essas colunas e fazendo eliminação gaussiana, verifica-se que o posto é 3. Assim
dim(Im,T)=3

Passo 5

Pelo Teorema da Dimensão (rank–nullity),
dim(ker T)+dim(Im,T)=4
Como dim(Im,T)=3, segue
dim(ker T)=4-3=1

Resposta

T(x,y,z,w)=(x-2y+w,;-2x+3y-z-3w,;x+2z+w)
dim(ker T)=1
dim(Im,T)=3

Exercícios relacionados