Considere a mudança de base X=A X^prime, onde A=(ll1 & 1 1 & 2) e X são coordenadas usuais. Os vetores cujas coordenadas no sistema X^prime são binom31 ebinom-13 são ortogonais?

Passo 1

O enunciado dá a mudança de base
X = A,X', A = 1 & 1 1 & 2,
e pede para verificar se, no produto interno usual em X, os vetores cujas coordenadas em X' são
binom31 e binom-13 são ortogonais. Para isso precisamos:
  1. Converter cada vetor para coordenadas usuais X usando X = A,X'.
  2. Calcular o produto interno padrão dessas duas imagens.
  3. Verificar se esse produto interno é zero.

Passo 2

Calculemos a imagem do primeiro vetor X'1=binom31:
X1 = A,X'1 = 1 & 1 1 & 2 binom31 = binom1cdot3 + 1cdot11cdot3 + 2cdot1 = binom45

Passo 3

Agora a imagem do segundo vetor X'2=binom-13:
X2 = A,X'2 = 1 & 1 1 & 2 binom-13 = binom1cdot(-1) + 1cdot31cdot(-1) + 2cdot3 = binom25

Passo 4

O produto interno usual de X1 e X2 em R^2 é
X1 cdot X2 = 4cdot 2 + 5cdot 5 = 8 + 25 = 33

Passo 5

Como o produto interno deu 33neq 0, concluímos que os vetores não são ortogonais no sistema de coordenadas usual.

Resposta

Não; o produto interno é 33, diferente de zero, logo não são ortogonais.

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