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Sejam T: R^3 R^4 e S: R^2 R^3 as aplicações lineares dadas respectivamente por T(x, y, z)=(x+y, z, x-y, y+z) e S(x, y)= (2 x+y, x-y, x-3 y).
(a) Determine a matriz [T] de T com relação às bases canônicas.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de Tcolon R^3toR^4 em relação às bases canônicas. Para isso, vamos usar que a coluna j de [T] é justamente T(ej), onde ej é o j-ésimo vetor da base canônica de R^3.

Passo 2

Identificamos os vetores da base canônica de R^3:
e1 = (1,0,0), e2 = (0,1,0), e3 = (0,0,1)
Em seguida, calculamos T(e1), T(e2) e T(e3).

Passo 3

Usando T(x,y,z)=(x+y,;z,;x-y,;y+z), temos:
T(e1)=T(1,0,0)=(1+0,;0,;1-0,;0+0)=(1,0,1,0),
T(e2)=T(0,1,0)=(0+1,;0,;0-1,;1+0)=(1,0,-1,1),
T(e3)=T(0,0,1)=(0+0,;1,;0-0,;0+1)=(0,1,0,1)

Passo 4

Colocando esses vetores como colunas, obtemos a matriz de T na base canônica:
[T] = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1

Resposta

[T] = 1 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & -1 & 0 0 & 1 & 1

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