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Seja T: R^2 R^3 a aplicação linear dada por T(x, y)=(2 x-y, x+3 y,-2 y) e as bases B=(-1,1),(2,1) de R^2 e C= (0,0,1),(0,1,-1),(1,1,0) do R^3. Determine [T]B, C. Determine também a matriz [T]B, D onde D é a base canônica do R^3.

Passo 1

O enunciado pede a matriz de uma aplicação linear Tcolon R^2toR^3 definida por
T(x,y)=(2x - y,;x + 3y,;-2y)
em duas situações: na base B=(-1,1),(2,1) do domínio e na base C=(0,0,1),(0,1,-1),(1,1,0) do contradomínio, e também em relação à base canônica D de R^3. O conteúdo envolvido é transformar coordenadas, mudança de base e montagem de matrizes de transformação linear.

Passo 2

Calcular as imagens de cada vetor de B nas coordenadas canônicas. Para
v1=(-1,1), v2=(2,1)
temos
T(v1) = (2cdot(-1)-1,; -1+3cdot1,; -2cdot1) = (-3,2,-2),
T(v2) = (2cdot2 -1,;2+3cdot1,;-2cdot1) = (3,5,-2)

Passo 3

Para achar as coordenadas de um vetor (x,y,z) na base
C=u1,u2,u3, u1=(0,0,1),;u2=(0,1,-1),;u3=(1,1,0),
escrevemos a combinação linear
alpha,u1+beta,u2+gamma,u3 =(gamma,;beta+gamma,;alpha-beta)
Comparando com (x,y,z) vem o sistema
gamma = x, beta+gamma = y, alpha-beta = z
Para T(v1)=(-3,2,-2) obtemos
gamma=-3, beta=5, alpha=3.
Para T(v2)=(3,5,-2) obtemos
gamma=3, beta=2, alpha=0.

Passo 4

As colunas de [T]B,C são os vetores (alpha,beta,gamma) encontrados em cada imagem. Logo,
[T]B,C = 3 & 0 5 & 2 -3 & 3

Passo 5

Em relação à base canônica D, as colunas de [T]B,D são simplesmente T(v1) e T(v2) em coordenadas padrão. Assim,
[T]B,D = -3 & 3 2 & 5 -2 & -2

Resposta

[T]B,C = 3 & 0 5 & 2 -3 & 3
[T]B,D = -3 & 3 2 & 5 -2 & -2

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