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Seja o operador linear cuja matriz em relação à base canônica de é dada por
(a) Mostre que T é um isomorfismo.
Passo 1
O enunciado dá o operador linear T:R^3toR^3
cuja matriz na base canônica é
M= 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & 1
Queremos mostrar que T é um isomorfismo, ou seja, que é bijetivo (invertível). Para isso usaremos o critério de invertibilidade de matrizes: T é isomorfismo se e somente se det(M)neq0.
Passo 2
Recordando a teoria, um operador linear em R^n é isomorfismo exatamente quando sua matriz em qualquer base é invertível. E uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.
Passo 3
Vamos calcular o determinante de M. Usando expansão pela primeira linha,