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Seja T: R^3 R^3 o operador linear cuja matriz em relação à base canônica de R^3 é dada por
(rrr 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & 1 )
(a) Mostre que T é um isomorfismo.

Passo 1

O enunciado dá o operador linear
T:R^3toR^3
cuja matriz na base canônica é
M= 1 & 0 & 1 2 & -1 & 1 0 & 0 & 1
Queremos mostrar que T é um isomorfismo, ou seja, que é bijetivo (invertível). Para isso usaremos o critério de invertibilidade de matrizes: T é isomorfismo se e somente se det(M)neq0.

Passo 2

Recordando a teoria, um operador linear em R^n é isomorfismo exatamente quando sua matriz em qualquer base é invertível. E uma matriz é invertível se, e somente se, seu determinante é diferente de zero.

Passo 3

Vamos calcular o determinante de M. Usando expansão pela primeira linha,
det(M) =1cdotdet-1 & 1[6pt]0 & 1 -0cdot(cdots) +1cdotdet2 & -1[6pt]0 & 0
Agora,
det-1 & 1[3pt]0 & 1 =(-1)cdot1 - 1cdot0 = -1,
det2 & -1[3pt]0 & 0 =2cdot0 -(-1)cdot0 = 0
Logo
det(M)=1cdot(-1)+1cdot0 = -1 neq 0
]

Passo 4

Como det(M)neq0, a matriz M é invertível e, portanto, T é um isomorfismo de R^3.

Resposta

T é um isomorfismo pois det(M)=-1neq0.

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