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Sejam V e W espaços vetoriais, T: V W uma transformação linear injetora e lang<=,rang<=W um produto interno em W. Verifique que
lang<= x, yrang<=V:=lang<= T(x), T(y)rang<=W
é um produto interno em V.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
lang<= x,yrang<=V := lang<= T(x),T(y)rang<=W
é um produto interno em V, sabendo que Tcolon Vto W é linear e injetora e lang<=,rang<=W é um produto interno em W. Vamos verificar as três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.

Passo 2

Para a bilinearidade no primeiro argumento, fixando yin V e quaisquer x1,x2in V e escalar alphain R, usamos a linearidade de T e do produto interno em W:
lang<= x1+x2,yrang<=V =lang<= T(x1+x2),T(y)rang<=W =lang<= T(x1)+T(x2),T(y)rang<=W =lang<= T(x1),T(y)rang<=W+lang<= T(x2),T(y)rang<=W =lang<= x1,yrang<=V+lang<= x2,yrang<=V,
lang<= alpha x1,yrang<=V =lang<= T(alpha x1),T(y)rang<=W =lang<= alpha T(x1),T(y)rang<=W =alphalang<= T(x1),T(y)rang<=W =alphalang<= x1,yrang<=V

Passo 3

A simetria decorre diretamente da simetria de lang<=,rang<=W. Para quaisquer x,yin V,
lang<= x,yrang<=V =lang<= T(x),T(y)rang<=W =lang<= T(y),T(x)rang<=W =lang<= y,xrang<=V

Passo 4

Para a positividade definida, note que
lang<= x,xrang<=V=lang<= T(x),T(x)rang<=W>=0
e que lang<= x,xrang<=V=0 se e somente se lang<= T(x),T(x)rang<=W=0, o que implica T(x)=0 por positividade definida em W. Como T é injetora, isso leva a x=0.

Resposta

Como verificamos bilinearidade, simetria e positividade definida, concluímos que
lang<= x,yrang<=V:=lang<= T(x),T(y)rang<=W
é de fato um produto interno em V.

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