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Sejam
e
espaços vetoriais,
uma transformação linear injetora e
um produto interno em
. Verifique que
é um produto interno em
.
Sejam
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
é um produto interno em
, sabendo que
é linear e injetora e
é um produto interno em
. Vamos verificar as três propriedades: bilinearidade, simetria e positividade definida.
Passo 2
Para a bilinearidade no primeiro argumento, fixando
e quaisquer
e escalar
, usamos a linearidade de
e do produto interno em
:
Passo 3
A simetria decorre diretamente da simetria de
. Para quaisquer
,
Passo 4
Para a positividade definida, note que
e que
se e somente se
, o que implica
por positividade definida em
. Como
é injetora, isso leva a
.
Resposta
Como verificamos bilinearidade, simetria e positividade definida, concluímos que
é de fato um produto interno em
.