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Seja W o subespaço de R^3 gerado pelos vetores u1=(-1,0,1) e u2=(0,1,0). Obtenha uma base ortonormal v1, v2, v3 para R^3 tal que v3 seja ortogonal a W.

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal v1,v2,v3 de R^3 tal que v3 seja ortogonal ao subespaço W=spanu1,u2, com
u1 = (-1,0,1), u2 = (0,1,0)
Para isso vamos usar o processo de Gram–Schmidt para obter v1,v2 em W e depois achar v3 normal a W.

Passo 2

Normalizamos u1 para obter v1. Primeiro calculamos a norma de u1:
|u1| = raiz(-1)^2 + 0^2 + 1^2 = raiz2
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v1 = u1|u1| = 1raiz2,(-1,0,1)

Passo 3

Ortonormalizamos u2 em relação a v1. Computamos o produto interno
u2 cdot v1 = (0,1,0)cdot 1raiz2(-1,0,1) = 0
Como já é ortogonal, basta normalizar u2:
|u2| = raiz0^2+1^2+0^2 = 1,
v2 = u2 = (0,1,0)

Passo 4

Encontramos v3 como vetor unitário ortogonal a v1 e v2. Observe que (1,0,1) é ortogonal a ambos:
(1,0,1)cdot u1 = 1cdot(-1)+0cdot0+1cdot1 = 0, (1,0,1)cdot u2 = 0
A norma de (1,0,1) é raiz2, então
v3 = 1raiz2,(1,0,1)

Resposta

v1 = l(-tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r)
v2 = (0,1,0)
v3 = l(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2r)

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