Considere em R^3 o produto interno definido por
lang<=(x1, x2, x3),(y1, y2, y3)rang<==(lll x1 & x2 & x3 ) cdot(lll 1 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 ) cdot(l y1 y2 y3 )
c) Podemos afirmar que os vetores v1=(1,0,0), v2=(-1,1,0) e v3=(0,0,1) constituem uma base ortonormal de R^3 com relação ao produto interno (3)?

Passo 1

O enunciado define em R^3 o produto interno
lang<= x,yrang<= = x^T A,y, A = 1 & 1 & 0 1 & 2 & 0 0 & 0 & 1 ,
e pergunta se os vetores
v1=(1,0,0),
v2=(-1,1,0),
v3=(0,0,1)
formam uma base ortonormal relativamente a esse produto interno. Para isso precisamos verificar duas coisas:
1. lang<= vi,virang<==1 para i=1,2,3.
2. lang<= vi,vjrang<==0 para ineq j.

Passo 2

Calculamos os auto-produtos:
lang<= v1,v1rang<= = [1,0,0] 1&1&01&2&00&0&1 100 = [1,0,0]110 =1,
lang<= v2,v2rang<= = [-1,1,0] 1&1&01&2&00&0&1 -110 = [-1,1,0]010 =1,
lang<= v3,v3rang<= = [0,0,1] 1&1&01&2&00&0&1 001 = [0,0,1]001 =1

Passo 3

Agora os produtos cruzados:
lang<= v1,v2rang<= = [1,0,0]A-110 = [1,0,0]010 =0,
lang<= v1,v3rang<= = [1,0,0]A001 = [1,0,0]001 =0,
lang<= v2,v3rang<= = [-1,1,0]A001 = [-1,1,0]001 =0

Passo 4

Como lang<= vi,virang<==1 e lang<= vi,vjrang<==0 para ineq j, os vetores são ortonormais. Além disso, são três vetores linearmente independentes em R^3, logo formam uma base.

Resposta

Sim, v1,v2,v3 é uma base ortonormal de R^3 em relação a esse produto interno.

Exercícios relacionados