Resolva os sistemas lineares abaixo utilizando o método de Gauss-Jordan. Observe que, como os sistemas possuem a mesma matriz dos coeficientes A, eles podem ser resolvidos simultaneamente, escalonando a matriz aumentada [A|B1| B2], onde B1 e B2 são as matrizes dos termos independentes de cada sistema: x-2 y+z & =1, 2 x-5 y+z & =-2, 3 x-7 y+2 z & =-1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, pelo método de Gauss–Jordan, o sistema
x - 2y + z = 1, 2x - 5y + z = -2, 3x - 7y + 2z = -1
O conteúdo é eliminação de Gauss–Jordan: queremos transformar a matriz aumentada em forma reduzida por linhas para ler a solução diretamente.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada l[Amid br]:
[ccc|c 1 & -2 & 1 & 1 2 & -5 & 1 & -2 3 & -7 & 2 & -1 ]
Usamos o pivô da linha 1 (elemento a11=1) para zerar abaixo:
– Subtraímos 2timeslinha 1 da linha 2:
L2L2-2,L1 ;Longrightarrow; [,2-2cdot1,;-5-2cdot(-2),;1-2cdot1mid -2-2cdot1,] =[,0,,-1,,-1mid -4,]
– Subtraímos 3timeslinha 1 da linha 3:
L3L3-3,L1 ;Longrightarrow; [,3-3cdot1,;-7-3cdot(-2),;2-3cdot1mid -1-3cdot1,] =[,0,,-1,,-1mid -4,]
Agora a matriz é
[ccc|c 1 & -2 & 1 & 1 0 & -1 & -1 & -4 0 & -1 & -1 & -4 ]

Passo 3

Escolhemos pivô em a22=-1 (linha 2). Primeiro normalizamos a linha 2:
L2 -1cdotL2 ;Longrightarrow; [,0,;1,;1mid 4,]
Aumentada fica
[ccc|c 1 & -2 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 4 0 & -1 & -1 & -4 ]

Passo 4

Zeramos a entrada abaixo do pivô (linha 3, coluna 2):
L3L3+L2 ;Longrightarrow; [,0,;-1+1,;-1+1mid -4+4,] =[,0,0,0mid 0,]
Agora temos
[ccc|c 1 & -2 & 1 & 1 0 & 1 & 1 & 4 0 & 0 & 0 & 0 ]
Como a terceira linha virou tudo zero, teremos infinitas soluções com um grau de liberdade.

Passo 5

Lemos as duas equações não nulas:
x - 2y + z = 1, xy + z = 4
Definimos parâmetro livre lambda = z.
Da segunda equação:
y = 4 - lambda
Da primeira:
x = 1 + 2y - z = 1 + 2(4-lambda) - lambda = 1 + 8 -2lambda - lambda = 9 - 3lambda

Resposta

A solução geral é
l(x,y,zr) =l(9-3lambda,;4-lambda,;lambdar), lambdainR

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