Em cada um dos casos a seguir, use o processo de Gram-Schmidt para obter uma base ortonormal para o subespaço gerado pelos vetores.
(c) (1,0,1,0),(2,1,0,1),(0,1,2,-3)

Passo 1

O enunciado pede uma base ortonormal para o subespaço de R^4 gerado por
v1 = (1,0,1,0), v2 = (2,1,0,1), v3 = (0,1,2,-3)
Vamos aplicar o processo de Gram–Schmidt no produto interno usual (o produto escalar) para obter vetores ortogonais
u1 = v1, u2 = v2 - proju1(v2), u3 = v3 - proju1(v3)-proju2(v3)
e depois normalizar cada ui para ei = ui/|ui|.

Passo 2

Começando por
u1 = v1 = (1,0,1,0),
calculamos
|u1| = raiz1^2+0^2+1^2+0^2 = raiz2,
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e1 = u1|u1| = l(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2,0r)

Passo 3

Agora projetamos v2 sobre e1 e subtraímos:
lang<= v2,e1rang<= = 2cdottfrac1raiz2 +1cdot0 +0cdottfrac1raiz2 +1cdot0 = 2raiz2 = raiz2,
u2 = v2 - lang<= v2,e1rang<=,e1 = (2,1,0,1) - raiz2l(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2,0r) = (1,1,-1,1)
A norma de u2 é
|u2| = raiz1^2+1^2+(-1)^2+1^2 = 2,
portanto
e2 = u2|u2| = l(tfrac12,tfrac12,-tfrac12,tfrac12r)

Passo 4

Finalmente projetamos v3 sobre e1 e e2:
lang<= v3,e1rang<= = 0cdottfrac1raiz2 +1cdot0 +2cdottfrac1raiz2 -3cdot0 = raiz2,
lang<= v3,e2rang<= = 0cdottfrac12 +1cdottfrac12 +2cdotl(-tfrac12r) -3cdottfrac12 = -2
Então
u3 = v3 - lang<= v3,e1rang<= e1 - lang<= v3,e2rang<= e2 = (0,1,2,-3) - raiz2l(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2,0r) +2l(tfrac12,tfrac12,-tfrac12,tfrac12r) = (0,2,0,-2)
Como
|u3| = raiz0^2+2^2+0^2+(-2)^2 = 2raiz2,
vem
e3 = u3|u3| = l(0,tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2r)

Resposta

Uma base ortonormal para o subespaço é
e1 = l(tfrac1raiz2,0,tfrac1raiz2,0r), e2 = l(tfrac12,tfrac12,-tfrac12,tfrac12r), e3 = l(0,tfrac1raiz2,0,-tfrac1raiz2r)

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