13- A taxa de crescimento populacional (ou de mortandade) de uma população
é expressa por ; em que
é o tempo decorrido em anos,
é a taxa de variação média anual. Considerando que a população inicial é de 66326 indivíduos e a taxa de crescimento anual da população é de
, bem como o número de mortos inicial é de 3200 e a taxa anual de mortandade é de
, qual será o número de indivíduos vivos ao fim do
. ano?
Baseado nos resultados obtidos determine uma expressão geral para a função de população
.
Passo 1
O enunciado trata de um modelo de crescimento/extermínio populacional em que a taxa de variação instantânea satisfaz a equação diferencial
onde
é a taxa média anual (positiva para crescimento, negativa para mortandade). A população inicial (nascimentos acumulados) é
com taxa de crescimento
, e o número inicial de mortos é
com taxa de mortandade
. Queremos o número de indivíduos vivos após
anos e, em seguida, uma expressão geral para
.
Passo 2
Resolva a equação diferencial
. A solução geral é
Logo, para o crescimento:
e para a mortandade (tomando-a como uma “população” de mortos que cresce):
Passo 3
O número de indivíduos vivos em
é a diferença entre os acumulados de nascimentos e os acumulados de mortes, ou seja
Passo 4
Calcule
. Primeiro avalie os exponenciais:
Assim,
Resposta
O número de indivíduos vivos ao fim do 10.º ano é aproximadamente
.
A expressão geral para a população de vivos é