13- A taxa de crescimento populacional (ou de mortandade) de uma população y(t) é expressa por ; em que t é o tempo decorrido em anos, r é a taxa de variação média anual. Considerando que a população inicial é de 66326 indivíduos e a taxa de crescimento anual da população é de 1,74 \%, bem como o número de mortos inicial é de 3200 e a taxa anual de mortandade é de 1,25 \%, qual será o número de indivíduos vivos ao fim do 10^{\circ}. ano?
Baseado nos resultados obtidos determine uma expressão geral para a função de população y(t).

Passo 1

O enunciado trata de um modelo de crescimento/extermínio populacional em que a taxa de variação instantânea satisfaz a equação diferencial
\frac{dy}{dt}=r\,y(t),
onde r é a taxa média anual (positiva para crescimento, negativa para mortandade). A população inicial (nascimentos acumulados) é y(0)=66326 com taxa de crescimento r_1=1,74\%, e o número inicial de mortos é D(0)=3200 com taxa de mortandade r_2=1,25\%. Queremos o número de indivíduos vivos após 10 anos e, em seguida, uma expressão geral para y(t).

Passo 2

Resolva a equação diferencial \tfrac{dy}{dt}=r\,y. A solução geral é
y(t)=y(0)\,e^{r\,t}.
Logo, para o crescimento:
y_{\text{cres}}(t)=66326\,e^{0,0174\,t},
e para a mortandade (tomando-a como uma “população” de mortos que cresce):
D(t)=3200\,e^{0,0125\,t}.

Passo 3

O número de indivíduos vivos em t é a diferença entre os acumulados de nascimentos e os acumulados de mortes, ou seja
y_{\text{vivos}}(t) =y_{\text{cres}}(t)\;-\;D(t) =66326\,e^{0,0174\,t}-3200\,e^{0,0125\,t}.

Passo 4

Calcule y_{\text{vivos}}(10). Primeiro avalie os exponenciais:
e^{0,0174\cdot 10}=e^{0,174}\approx 1{,}190,\quad e^{0,0125\cdot 10}=e^{0,125}\approx 1{,}133.
Assim,
y_{\text{vivos}}(10) \approx 66326\cdot1{,}190\;-\;3200\cdot1{,}133 \approx 78948\;-\;3626 \approx 75322.

Resposta

O número de indivíduos vivos ao fim do 10.º ano é aproximadamente 75322.
A expressão geral para a população de vivos é
y(t)=66326\,e^{0,0174\,t}-3200\,e^{0,0125\,t}.

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