Resolva o PVI:
\left(\frac{y}{x}+6 x\right) d x+(\ln x-2) d y=0, x>0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial na forma diferencial total
\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr)\,dx \;+\;(\ln x - 2)\,dy \;=\;0,\quad x>0.
O conteúdo aqui é resolução de equação diferencial de primeira ordem escrita como
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
verificando se é exata e, em caso afirmativo, encontrando a função potencial \Psi(x,y) tal que
d\Psi = M\,dx + N\,dy = 0.

Passo 2

Identificamos
M(x,y) = \frac{y}{x} + 6x, \qquad N(x,y) = \ln x - 2.
Para ser exata, precisamos ter
\frac{\partial M}{\partial y} \;=\; \frac{\partial N}{\partial x}.
Calculamos
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{1}{x}, \qquad \frac{\partial N}{\partial x} = \frac{1}{x}.
Como ambos são iguais, a equação é exata.

Passo 3

Buscamos \Psi(x,y) satisfazendo
\frac{\partial \Psi}{\partial x} = M(x,y).
Integramos M em relação a x, tratando y como constante:
\Psi(x,y) = \int\Bigl(\frac{y}{x}+6x\Bigr)\,dx = y\int\frac{1}{x}\,dx \;+\;6\int x\,dx = y\ln x \;+\;3x^2 \;+\;h(y),
onde h(y) é uma “constante” de integração que pode depender só de y.

Passo 4

Agora impomos
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = N(x,y).
Da expressão encontrada,
\frac{\partial \Psi}{\partial y} = \ln x + h'(y)
deve ser igual a
N(x,y) = \ln x - 2.
Logo
\ln x + h'(y) = \ln x - 2 \quad\Longrightarrow\quad h'(y) = -2 \quad\Longrightarrow\quad h(y) = -2y.

Passo 5

Substituindo h(y) em \Psi, obtemos a função potencial completa:
\Psi(x,y) = y\ln x + 3x^2 - 2y.
A solução geral da equação exata é dada por
\Psi(x,y) = C,
com C constante arbitrária.

Resposta

y\ln x \;+\;3x^2 \;-\;2y = C.

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