Mostre que (x \ln (y)+x y) d x+(y \ln x+x y) d y=0, x>0, y>0 é não exata. Que nesse caso não é possível determinar um fator integrante h(x) ou h(y) e resolver a EDO.

Passo 1

Temos a diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = \bigl(x\ln y + x y\bigr)\,dx + \bigl(y\ln x + x y\bigr)\,dy = 0,
com x>0, y>0. O conteúdo é a verificação de exatidão de formas diferenciais e a busca de fator integrante em função só de x ou só de y.

Passo 2

Calculamos a derivada parcial de M em relação a y:
\frac{\partial M}{\partial y} = \frac{\partial}{\partial y}\bigl(x\ln y + x y\bigr) = x\cdot\frac{1}{y}+x = x\Bigl(\frac{1}{y}+1\Bigr).

Passo 3

Calculamos a derivada parcial de N em relação a x:
\frac{\partial N}{\partial x} = \frac{\partial}{\partial x}\bigl(y\ln x + x y\bigr) = y\cdot\frac{1}{x}+y = y\Bigl(\frac{1}{x}+1\Bigr).

Passo 4

Como
\frac{\partial M}{\partial y} = x\Bigl(\frac{1}{y}+1\Bigr) \quad\neq\quad y\Bigl(\frac{1}{x}+1\Bigr) = \frac{\partial N}{\partial x},
a forma é não exata.

Passo 5

Tentamos achar um fator integrante \mu(x). A condição seria
\frac{1}{N}\Bigl(\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x}\Bigr) \;\text{só em função de \(x\)}.óçã
Mas
\frac{\partial M}{\partial y}-\frac{\partial N}{\partial x} = x\Bigl(\tfrac1y+1\Bigr)-y\Bigl(\tfrac1x+1\Bigr)
e
\frac{1}{N}=\frac{1}{y\ln x + x y}
dependem simultaneamente de x e de y, logo não é função apenas de x. Portanto não existe \mu(x).

Passo 6

Tentamos achar um fator integrante \mu(y). A condição seria
\frac{1}{M}\Bigl(\frac{\partial N}{\partial x}-\frac{\partial M}{\partial y}\Bigr) \;\text{só em função de \(y\)}.óçã
Similarmente, esse quociente também depende de x e de y, não sendo função apenas de y. Portanto não existe \mu(y).

Resposta

A forma diferencial é não exata e não admite fator integrante dependente só de x nem só de y, de modo que não se pode resolver a EDO por esse método.

Exercícios relacionados