14- Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de resistência R, um capacitor de capacitância C e um gerador que gera uma diferença de potencial V(t) ligados em série. A carga Q(t) no capacitor satisfaz a equação diferencial:
R \frac{d Q}{d t}+\frac{1}{C} Q=V(t)
Nesta equação a incógnita é a função Q(t). Assim, Q é a variável dependente e t é variável independente.
Determine uma expressão para Q(t) considerando que V(t)=e^{-R C t} \cos (2 R C t)

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem para a carga Q(t) em um circuito RC em série:
R\,\frac{dQ}{dt}+\frac{1}{C}\,Q = V(t),
com V(t)=e^{-RC\,t}\cos\bigl(2\,RC\,t\bigr).
É uma equação linear na forma padrão. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la e obter a solução geral Q(t).

Passo 2

Dividimos toda a equação por R para pô-la na forma
\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{RC}\,Q = \frac{1}{R}\,e^{-RC\,t}\cos\bigl(2\,RC\,t\bigr).

Passo 3

O coeficiente de Q é \tfrac1{RC}. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\!\Bigl(\int \tfrac{1}{RC}\,dt\Bigr) = e^{t/(RC)}.

Passo 4

Multiplicamos a equação por \mu(t):
e^{t/(RC)}\frac{dQ}{dt} + \frac{1}{RC}\,e^{t/(RC)}\,Q = \frac{1}{R}\,e^{t/(RC)}\,e^{-RC\,t}\cos\bigl(2\,RC\,t\bigr).
O lado esquerdo é a derivada \tfrac{d}{dt}\bigl(e^{t/(RC)}Q\bigr), logo
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/(RC)}Q\bigr) = \frac{1}{R}\,e^{\bigl(\tfrac1{RC}-RC\bigr)t}\cos\bigl(2\,RC\,t\bigr).

Passo 5

Integramos em t. Definimos
\alpha = \frac{1}{RC}-RC, \quad \beta = 2\,RC.
Usamos a fórmula
\int e^{\alpha t}\cos(\beta t)\,dt = \frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}\,\bigl(\alpha\cos(\beta t)+\beta\sin(\beta t)\bigr).
Portanto
e^{t/(RC)}\,Q = \frac{1}{R}\,\frac{e^{\alpha t}}{\alpha^2+\beta^2}\,\bigl(\alpha\cos(\beta t)+\beta\sin(\beta t)\bigr) + K,
onde K é constante de integração.

Passo 6

Voltando a Q(t), multiplicamos por e^{-t/(RC)} e substituímos \alpha e \beta:
Q(t) = e^{-t/(RC)}\Big[ \frac{1}{R(\alpha^2+\beta^2)}\,e^{\alpha t}\bigl(\alpha\cos(\beta t)+\beta\sin(\beta t)\bigr) + K \Big].
Note que \alpha t - \tfrac{t}{RC} = -RC\,t. Também se verifica
\alpha^2+\beta^2 = \frac{(1-R^2C^2)^2}{R^2C^2} + 4R^2C^2 = \frac{(1+R^2C^2)^2}{R^2C^2}.
Fazendo as simplificações, a solução geral fica

Resposta

Q(t) = \frac{e^{-RC\,t}}{(1+R^2C^2)^2} \;C\bigl[(1-R^2C^2)\cos(2RC\,t)+2R^2C^2\sin(2RC\,t)\bigr] \;+\;K\,e^{-t/(RC)},
onde K é a constante de integração determinada pela condição inicial.

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