14- Um circuito RC é um circuito que tem um resistor de resistência
, um capacitor de capacitância
e um gerador que gera uma diferença de potencial
ligados em série. A carga
no capacitor satisfaz a equação diferencial:
Nesta equação a incógnita é a função
. Assim, Q é a variável dependente e t é variável independente.
Determine uma expressão para
considerando que
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem para a carga
em um circuito RC em série:
com
.
É uma equação linear na forma padrão. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la e obter a solução geral .
É uma equação linear na forma padrão. Vamos usar o método do fator integrante para resolvê-la e obter a solução geral
Passo 2
Dividimos toda a equação por
para pô-la na forma
Passo 3
O coeficiente de
é
. O fator integrante é
Passo 4
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada
, logo
Passo 5
Integramos em
. Definimos
Usamos a fórmula
Portanto
onde
é constante de integração.
Passo 6
Voltando a
, multiplicamos por
e substituímos
e
:
Note que
. Também se verifica
Fazendo as simplificações, a solução geral fica
Resposta
onde
é a constante de integração determinada pela condição inicial.