15 ª Questão:

Uma partícula se move ao longo da curva \mathbf{r}(t)=\langle t \cos t, t \sin t, t\rangle, 0 \leq t \leq \pi, sob a ação do campo \mathbf{F}(x, y, z)=-x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}. Calcule o trabalho realizado.

Passo 1

O enunciado dá a curva
\mathbf{r}(t)=\langle t\cos t,\;t\sin t,\;t\rangle,\quad 0\le t\le\pi
e o campo
\mathbf{F}(x,y,z)=-x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}.
O trabalho realizado é o integral de linha
W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}
que, em parametrização, vira
W=\int_{0}^{\pi}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.

Passo 2

Calculemos primeiro \mathbf{r}'(t) e \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)):
\mathbf{r}'(t) =\bigl\langle\cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t,\;1\bigr\rangle,
\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl\langle -\,t\cos t,\;t\sin t,\;t\bigr\rangle.

Passo 3

O produto escalar é
\mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =(-t\cos t)(\cos t - t\sin t) +(t\sin t)(\sin t + t\cos t) +t\cdot1.
Expandindo e agrupando, obtemos
-t\cos^2t +t^2\cos t\sin t +t\sin^2t +t^2\sin t\cos t +t =-t\cos2t +t +t^2\sin2t.

Passo 4

O trabalho fica
W=\int_{0}^{\pi}\bigl(t - t\cos2t + t^2\sin2t\bigr)\,dt =\underbrace{\int_{0}^{\pi}t\,dt}_{I_1} -\underbrace{\int_{0}^{\pi}t\cos2t\,dt}_{I_2} +\underbrace{\int_{0}^{\pi}t^2\sin2t\,dt}_{I_3}.
Calculemos cada um:
I_1=\int_{0}^{\pi}t\,dt=\frac{\pi^2}{2},
por partes I_2=\int_{0}^{\pi}t\cos2t\,dt=0,
e, por partes também,
I_3=\int_{0}^{\pi}t^2\sin2t\,dt=-\frac{\pi^2}{2}.

Passo 5

Somando tudo:
W=I_1 - I_2 + I_3 =\frac{\pi^2}{2}-0-\frac{\pi^2}{2}=0.

Resposta

O trabalho realizado pelo campo ao longo da curva é 0.

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