15 ª Questão: Uma partícula se move ao longo da curva \mathbf{r}(t)=\langle t \cos t, t \sin t, t\rangle, 0 \leq t \leq \pi, sob a ação do campo \mathbf{F}(x, y, z)=-x \mathbf{i}+y \mathbf{j}+z \mathbf{k}. Calcule o trabalho realizado. Passo 1O enunciado dá a curva \mathbf{r}(t)=\langle t\cos t,\;t\sin t,\;t\rangle,\quad 0\le t\le\pi e o campo \mathbf{F}(x,y,z)=-x\,\mathbf{i}+y\,\mathbf{j}+z\,\mathbf{k}. O trabalho realizado é o integral de linha W=\int_C\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r} que, em parametrização, vira W=\int_{0}^{\pi}\mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr)\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt. Passo 2Calculemos primeiro \mathbf{r}'(t) e \mathbf{F}(\mathbf{r}(t)): \mathbf{r}'(t) =\bigl\langle\cos t - t\sin t,\;\sin t + t\cos t,\;1\bigr\rangle, \mathbf{F}\bigl(\mathbf{r}(t)\bigr) =\bigl\langle -\,t\cos t,\;t\sin t,\;t\bigr\rangle. Passo 3O produto escalar é \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t) =(-t\cos t)(\cos t - t\sin t) +(t\sin t)(\sin t + t\cos t) +t\cdot1. Expandindo e agrupando, obtemos -t\cos^2t +t^2\cos t\sin t +t\sin^2t +t^2\sin t\cos t +t =-t\cos2t +t +t^2\sin2t. Passo 4O trabalho fica W=\int_{0}^{\pi}\bigl(t - t\cos2t + t^2\sin2t\bigr)\,dt =\underbrace{\int_{0}^{\pi}t\,dt}_{I_1} -\underbrace{\int_{0}^{\pi}t\cos2t\,dt}_{I_2} +\underbrace{\int_{0}^{\pi}t^2\sin2t\,dt}_{I_3}. Calculemos cada um: I_1=\int_{0}^{\pi}t\,dt=\frac{\pi^2}{2}, por partes I_2=\int_{0}^{\pi}t\cos2t\,dt=0, e, por partes também, I_3=\int_{0}^{\pi}t^2\sin2t\,dt=-\frac{\pi^2}{2}. Passo 5Somando tudo: W=I_1 - I_2 + I_3 =\frac{\pi^2}{2}-0-\frac{\pi^2}{2}=0. RespostaO trabalho realizado pelo campo ao longo da curva é 0. MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados 14{ }^{\text {a }} Questão: No plano x y, calcule o trabalho realizado pelo campo \mathbf{F}(x, y)=\sin x \mathbf{i}+e^{y} \mathbf{j} sobre uma partícula que se move em linha reta de (0,0) a (\pi, 1). 13{ }^{\text {a }} Questão: No plano x y, calcule o trabalho realizado pelo campo \mathbf{F}(x, y)=\left(x^{2}+y\right) \mathbf{i}+\left(y^{2}+x\right) \mathbf{j} sobre uma partícula que se move em linha reta de (0,0) a (2,2). 16 a Questão: Uma partícula se move em linha reta de P(0,1,2) a Q(2,3,4), sob a ação do campo \mathbf{F}(x, y, z)= y z \mathbf{i}+x z \mathbf{j}+x y \mathbf{k}. Determine o trabalho realizado. Escreva o conjunto \Omega=\left\{(x, y, z) \in \mathbb{R}^{3}: x^{2}+y^{2}+z^{2} \leq r^{2}\right\} \mathrm{em} coordenadas esféricas.