4.13 Verdadeiro ou Falso. Se for verdadeiro, explique. Se for falso, explique ou dê um contraexemplo.
(a) A fórmula da integração por partes é obtida pela regra do produto para derivadas.
Solução: Verdadeiro! Da regra de derivação de um produto de duas funções
e
,
segue por integração,
ou ainda,
que pode ser escrita na forma
(b) Toda função integrável é contínua.
Solução: Falso! Como contra-exemplo, considere a função
que é integrável de 0 a 1 , mas não é definida em
.
© O Teorema do Valor Médio para integrais garante que existe um único ponto
tal que
Solução: Verdadeiro! O TVM garante que existe um
tal que
Geometricamente, indica que existe um ponto no qual ao traçarmos uma reta horizontal na imagem de
, a área acima da reta e limitada por
é igual a área abaixo da reta até o eixo
.
(a) A fórmula da integração por partes é obtida pela regra do produto para derivadas.
© O Teorema do Valor Médio para integrais garante que existe um único ponto
Passo 1
O enunciado pede para analisar três afirmações e dizer se são verdadeiras ou falsas, justificando cada caso. O conteúdo envolve a regra do produto para derivadas, definição de integrabilidade e o Teorema do Valor Médio para integrais.
Passo 2
Começando pela parte (a), lembramos da regra do produto: se temos duas funções diferenciáveis
e
, vale
Integrando ambos os lados em relação a
e como a integral da derivada é a própria função (mais constante),
Reorganizando para isolar
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.
Passo 3
Para a parte (b), afirmamos que nem toda função integrável é contínua. Um contraexemplo clássico é a função
definida em
. Essa função tem um único ponto de descontinuidade em
, mas é Riemann-integrável porque o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida nula. Portanto, a afirmação (b) é falsa.
Passo 4
Na parte ©, o Teorema do Valor Médio para integrais garante a existência de pelo menos um ponto
tal que
mas não garante que esse ponto seja único. Por exemplo, para
e então
em
e em
, ou seja, há pelo menos dois pontos distintos que satisfazem a igualdade. Assim, a afirmação © é falsa.
Resposta
(a) Verdadeiro; (b) Falso; © Falso.