4.13 Verdadeiro ou Falso. Se for verdadeiro, explique. Se for falso, explique ou dê um contraexemplo.
(a) A fórmula da integração por partes é obtida pela regra do produto para derivadas.
Solução: Verdadeiro! Da regra de derivação de um produto de duas funções u=u(x) e v=v(x),
(u v)^prime=u^prime v+u v^prime
segue por integração,
u(x) v(x)=integral u^prime(x) v(x) d x+integral u(x) v(x) d x
ou ainda,
integral u v^prime d x=u v-integral u^prime v d x
que pode ser escrita na forma
integral u d v=u v-integral v d u
(b) Toda função integrável é contínua.
Solução: Falso! Como contra-exemplo, considere a função ln x que é integrável de 0 a 1 , mas não é definida em x=0.
© O Teorema do Valor Médio para integrais garante que existe um único ponto c in[a, b] tal que
f(c)(b-a)=integrala^b f(x) d x
Solução: Verdadeiro! O TVM garante que existe um c in[a, b] tal que
f(c)=fmed=1b-a integrala^b f(x) d x
Geometricamente, indica que existe um ponto no qual ao traçarmos uma reta horizontal na imagem de f, a área acima da reta e limitada por f é igual a área abaixo da reta até o eixo x.

Passo 1

O enunciado pede para analisar três afirmações e dizer se são verdadeiras ou falsas, justificando cada caso. O conteúdo envolve a regra do produto para derivadas, definição de integrabilidade e o Teorema do Valor Médio para integrais.

Passo 2

Começando pela parte (a), lembramos da regra do produto: se temos duas funções diferenciáveis u(x) e v(x), vale
(uv)' = u'v + uv'
Integrando ambos os lados em relação a x, obtemos
integral (uv),dx = integral u'v,dx + integral uv',dx
e como a integral da derivada é a própria função (mais constante),
uv = integral u'v,dx + integral uv',dx
Reorganizando para isolar integral uv',dx, chega-se à fórmula de integração por partes:
integral u,dv = uv - integral v,du
Logo, a afirmação (a) é verdadeira.

Passo 3

Para a parte (b), afirmamos que nem toda função integrável é contínua. Um contraexemplo clássico é a função
f(x)= 0, & xne 0, 1, & x=0,
definida em [-1,1]. Essa função tem um único ponto de descontinuidade em x=0, mas é Riemann-integrável porque o conjunto de pontos de descontinuidade tem medida nula. Portanto, a afirmação (b) é falsa.

Passo 4

Na parte ©, o Teorema do Valor Médio para integrais garante a existência de pelo menos um ponto cin[a,b] tal que
f(c)(b-a)=integrala^b f(x),dx,
mas não garante que esse ponto seja único. Por exemplo, para f(x)=cos x em [0,2pi] temos
integral0^2picos x,dx=0
e então f(c)=0 em c=pi/2 e em c=3pi/2, ou seja, há pelo menos dois pontos distintos que satisfazem a igualdade. Assim, a afirmação © é falsa.

Resposta

(a) Verdadeiro; (b) Falso; © Falso.

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