Faça os gráficos das seguintes funções:
(d) f(x)=2x^2+1

Passo 1

O enunciado pede o gráfico da função racional transformada f(x)=2/x²+1. Este tipo de exercício cai em análise de funções e transformações de gráficos: vamos precisar entender domínio, assíntotas, interceptos e comportamento geral antes de esboçar.

Passo 2

Primeiro, determinamos o domínio e as assíntotas. Como há x² no denominador, temos x≠0, então o domínio é (-∞,0)∪(0,∞). Para x→0, |2/x²|→∞, logo há uma assíntota vertical em x=0. Para x→±∞, 2/x²→0, então f(x)→1, isto estabelece a assíntota horizontal y=1.

Passo 3

Em seguida, buscamos interceptos. Para intercepto em y, precisaríamos f(0), mas 0 não pertence ao domínio, logo não há intercepto em y. Para intercepto em x, resolvemos f(x)=0:
2x^2+1=0
2x^2=-1

Passo 4

Isso não tem solução real (lado esquerdo é sempre positivo), então não há interceptos em x.

Passo 5

Agora vemos a simetria e o comportamento. Note que f(-x)=2/(-x)²+1=2/x²+1=f(x), então a função é par e o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. Para x>0, f(x) é decrescente de +∞ (próximo a 0⁺) até 1 (quando x→+∞). O mesmo vale para x<0, simetricamente.

Passo 6

Para dar forma ao esboço, escolhemos pontos-chave:
x=1implies f(1)=2/1+1=3, x=2implies f(2)=2/4+1=1,5, x=3implies f(3)=2/9+1≈1,22

Passo 7

Com esses dados, traçamos duas curvas: em x>0, parte que sai de +∞ em x→0⁺, passa por (1,3),(2,1.5),(3,1.22) e se aproxima de y=1; em x<0, fazemos o mesmo de forma simétrica.

Resposta

O gráfico tem: domínio (-∞,0)∪(0,∞), assíntota vertical x=0, assíntota horizontal y=1, nenhuma raiz nem intercepto em y, é função par e forma duas “campânulas” simétricas acima de y=1, caindo de +∞ em x→0 para y→1 em |x|→∞.

Exercícios relacionados