Para cada uma das transformações lineares abaixo
  • Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
  • Encontre uma base e dimensão para a imegem;
  • Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
    T: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definida por T(x, y)=(2 y, x-y, x).

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear
T\colon \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^3,\quad T(x,y) = (2y,\;x - y,\;x),
e pede: base e dimensão de \ker(T), base e dimensão de \Im(T), e verificar se T é injetiva, sobrejetiva ou bijetiva. O que vamos usar é a definição de núcleo (solução de T(x,y)=0), definição de imagem (span dos vetores T(e_1) e T(e_2)) e o teorema da dimensão (rank–nullity) para conferir consistência, além das definições de injetividade e sobrejetividade.

Passo 2

Para achar \ker(T) lembramos que
\ker(T)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid T(x,y)=(0,0,0)\}.
Escrevendo as coordenadas,
T(x,y)=(2y,\;x-y,\;x)=(0,0,0)
é equivalente ao sistema
\begin{cases} 2y=0,\\\ x-y=0,\\\ x=0. \end{cases}

Passo 3

Das equações vem 2y=0\implies y=0 e x=0. Assim o único vetor que vai ao zero é (0,0). Logo
\ker(T)=\{(0,0)\},
que é o subespaço zero. Uma base do espaço zero é o conjunto vazio e
\dim(\ker(T))=0.

Passo 4

Para determinar \Im(T) usamos que
\Im(T)=\{T(x,y)\mid(x,y)\in\mathbb{R}^2\}
e que
T(x,y)=x\,T(1,0)+y\,T(0,1).
Calculamos
T(1,0) = (0,\;1,\;1), \qquad T(0,1) = (2,\;-1,\;0),
logo
T(x,y) = x\,(0,1,1) \;+\; y\,(2,-1,0).

Passo 5

Portanto
\Im(T)=\text{span}\{(0,1,1),\,(2,-1,0)\}.
Para ver que esses dois vetores são independentes, resolvemos
\alpha\,(0,1,1)+\beta\,(2,-1,0)=(0,0,0)
o que dá \beta=0 pela primeira coordenada e então \alpha=0. Logo são independentes e formam uma base. Assim
\dim(\Im(T))=2.

Passo 6

Pelas definições:
  • T é injetiva se e só se \ker(T)=\{0\}. Aqui \dim(\ker(T))=0, então é injetiva.
  • T é sobrejetiva se \Im(T)=\mathbb{R}^3. Como \dim(\Im(T))=2<3, não é sobrejetiva.
  • Consequentemente T não é bijetiva.

Resposta

Base de \ker(T): \emptyset (espaço zero)
\dim(\ker(T))=0
Base de \Im(T): \{(0,1,1),\,(2,-1,0)\} \dim(\Im(T))=2 T é injetiva, não é sobrejetiva, logo não é bijetiva.

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