Para cada uma das transformações lineares abaixo
  • Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
  • Encontre uma base e dimensão para a imegem;
  • Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
    T: \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) \rightarrow \mathcal{P}_{2}(\mathbb{R}) definida por T\left(a+b t+c t^{2}\right)=a+c+(b-c) t^{2}.

Passo 1

O enunciado dá a transformação linear T\colon \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_2(\mathbb{R}) definida por
T\bigl(a + b\,t + c\,t^2\bigr) = (a + c) + (b - c)\,t^2.
Precisamos encontrar
– uma base e a dimensão do núcleo de T;
– uma base e a dimensão da imagem de T;
– verificar se T é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.

Passo 2

Para achar o núcleo, impomos T(a+b\,t+c\,t^2)=0, ou seja
a + c = 0, \quad b - c = 0.
Da segunda equação vem c=b. Substituindo na primeira, a + b = 0, logo a=-b. Assim todo p(t)\in\ker T é da forma
p(t) = -b + b\,t + b\,t^2 = b\bigl(-1 + t + t^2\bigr).
Portanto
\ker T = \mathrm{span}\{\, -1 + t + t^2\}, \quad \dim(\ker T)=1.

Passo 3

Para achar a imagem, note que
T(a+b\,t+c\,t^2) = (a+c) + 0\cdot t + (b-c)\,t^2.
Os coeficientes a+c e b-c são livres, então
\mathrm{Im}\,T = \{\,d + e\,t^2 \mid d,e\in\mathbb{R}\} = \mathrm{span}\{\,1,\;t^2\}, \quad \dim(\mathrm{Im}\,T)=2.

Passo 4

– Injetividade: como \ker T\neq\{0\}, T não é injetiva.
– Sobrejetividade: \dim(\mathrm{Im}\,T)=2<3=\dim(\mathcal P_2(\mathbb R)), logo T não é sobrejetiva.
– Bijetividade: não é bijetiva porque não é nem injetiva nem sobrejetiva.

Resposta

Núcleo: base \{-1 + t + t^2\}, dimensão 1.
Imagem: base \{1,\,t^2\}, dimensão 2.
Injetiva? Não.
Sobrejetiva? Não.
Bijetiva? Não.

Exercícios relacionados