Para cada uma das transformações lineares abaixo
- Encontre uma base e a dimensão para o núcleo;
- Encontre uma base e dimensão para a imegem;
- Verifique se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
definida por
.
Passo 1
O enunciado dá a transformação linear
definida por
Precisamos encontrar
– uma base e a dimensão do núcleo de ;
– uma base e a dimensão da imagem de ;
– verificar se é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva.
– uma base e a dimensão do núcleo de
– uma base e a dimensão da imagem de
– verificar se
Passo 2
Para achar o núcleo, impomos
, ou seja
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira,
, logo
. Assim todo
é da forma
Portanto
Passo 3
Para achar a imagem, note que
Os coeficientes
e
são livres, então
Passo 4
– Injetividade: como
,
não é injetiva.
– Sobrejetividade: , logo
não é sobrejetiva.
– Bijetividade: não é bijetiva porque não é nem injetiva nem sobrejetiva.
– Sobrejetividade:
– Bijetividade: não é bijetiva porque não é nem injetiva nem sobrejetiva.
Resposta
Núcleo: base
, dimensão
.
Imagem: base , dimensão
.
Injetiva? Não.
Sobrejetiva? Não.
Bijetiva? Não.
Imagem: base
Injetiva? Não.
Sobrejetiva? Não.
Bijetiva? Não.