13)Num teste de balística,um projétil foi lançado do solo sob um ângulo de
e sen
retornando ao solo em
.Considerando desprezível a resistência do ar e a aceleração da gravidade com o valor
,a velocidade de lançamento do projétil,em m/s,e o respectivo alcance,em m, foram
a) 50 e 240 .
b) 50 e 120 .
c) 40 e 240 .
d) 40 e 120 .
e) 30 e 240 .
a) 50 e 240 .
b) 50 e 120 .
c) 40 e 240 .
d) 40 e 120 .
e) 30 e 240 .
Passo 1
O enunciado pede a velocidade inicial do projétil e o alcance horizontal quando lançado do solo com ângulo
e tempo total de voo
. As informações dadas são:
- ângulo de lançamento:
(com e ); - tempo total de voo:
; - aceleração da gravidade:
; - despreza-se resistência do ar.
O que se quer encontrar: a velocidade de lançamento (m/s) e o alcance horizontal (m).
Passo 2
Entendendo as componentes da velocidade inicial. Quando lançamos um projétil com velocidade inicial
num ângulo
acima da horizontal, podemos decompor
em duas componentes:
Aqui
, então usaremos
e
. Isso significa que a velocidade inicial tem parte horizontal
e parte vertical
.
Passo 3
Relação entre tempo de voo e componente vertical. A equação do movimento vertical (origem no solo) é
O projétil parte do solo (
) e retorna ao solo no instante
(
). Substituindo
e
obtemos
Fatorando
(sabendo que
para o impacto posterior), vem
ou isolando
,
Esta é a fórmula prática: o tempo total de voo de um projétil que sai e volta ao mesmo nível é
. Agora vamos usar os números dados.
Passo 4
Calcular
com os valores numéricos:
,
e
.
Calcule passo a passo:
Portanto a velocidade de lançamento é
.
Passo 5
Encontrar o alcance horizontal
. A posição horizontal varia uniformemente (não há aceleração horizontal):
O alcance
é
, ou seja
Também podemos usar a forma conhecida
porque
. Vou usar a expressão
primeiro, usando os valores que já temos.
Passo 6
Calcular
usando
com
,
e
:
Calcule passo a passo:
Logo
.
Passo 7
Verificação alternativa (opcional, mas boa para confiar no resultado): usar
. Primeiro calcule
via identidade dupla:
Então
confirmação perfeita do cálculo anterior.
Passo 8
Resumo final e encontro da alternativa correta: velocidade de lançamento
e alcance
. Isso corresponde à alternativa (a).
Resposta
a)
e