13)Num teste de balística,um projétil foi lançado do solo sob um ângulo de 37^{\circ}\left(\cos 37^{\circ}=0,8\right. e sen \left.37^{\circ}=0,6\right) retornando ao solo em 6,0 \mathrm{~s} .Considerando desprezível a resistência do ar e a aceleração da gravidade com o valor 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} ,a velocidade de lançamento do projétil,em m/s,e o respectivo alcance,em m, foram
a) 50 e 240 .
b) 50 e 120 .
c) 40 e 240 .
d) 40 e 120 .
e) 30 e 240 .

Passo 1

O enunciado pede a velocidade inicial do projétil e o alcance horizontal quando lançado do solo com ângulo 37^\circ e tempo total de voo 6{,}0\\ \mathrm{s}. As informações dadas são:
  • ângulo de lançamento: \;37^\circ (com \cos 37^\circ = 0,8 e \sin 37^\circ = 0,6);
  • tempo total de voo: \;T=6{,}0\\ \mathrm{s};
  • aceleração da gravidade: \;g=10\\ \mathrm{m/s^2};
  • despreza-se resistência do ar.
    O que se quer encontrar: a velocidade de lançamento (m/s) e o alcance horizontal (m).

Passo 2

Entendendo as componentes da velocidade inicial. Quando lançamos um projétil com velocidade inicial \;v_0 num ângulo \theta acima da horizontal, podemos decompor \;v_0 em duas componentes:
\text{componente horizontal: } v_{0x} = v_0\cos\theta,
\text{componente vertical: } v_{0y} = v_0\sin\theta.
Aqui \theta=37^\circ, então usaremos \cos 37^\circ = 0,8 e \sin 37^\circ = 0,6. Isso significa que a velocidade inicial tem parte horizontal \;v_0\cdot 0,8 e parte vertical \;v_0\cdot 0,6.

Passo 3

Relação entre tempo de voo e componente vertical. A equação do movimento vertical (origem no solo) é
y(t)=v_{0y}t - \tfrac{1}{2}gt^2.
O projétil parte do solo ( y(0)=0) e retorna ao solo no instante t=T ( y(T)=0). Substituindo y(T)=0 e v_{0y}=v_0\sin\theta obtemos
0 = v_0\sin\theta\;T - \tfrac{1}{2}gT^2.
Fatorando T (sabendo que T\neq 0 para o impacto posterior), vem
v_0\sin\theta = \tfrac{1}{2}gT,
ou isolando v_0,
v_0 = \frac{gT}{2\sin\theta}.
Esta é a fórmula prática: o tempo total de voo de um projétil que sai e volta ao mesmo nível é T=\dfrac{2v_0\sin\theta}{g}. Agora vamos usar os números dados.

Passo 4

Calcular v_0 com os valores numéricos: \;g=10\\ \mathrm{m/s^2}, \;T=6{,}0\\ \mathrm{s} e \sin 37^\circ = 0,6.
v_0 = \frac{gT}{2\sin\theta} = \frac{10\cdot 6{,}0}{2\cdot 0,6}.
Calcule passo a passo:
10\cdot 6{,}0 = 60,
2\cdot 0,6 = 1,2,
v_0 = \frac{60}{1,2} = 50.
Portanto a velocidade de lançamento é \;v_0 = 50\\ \mathrm{m/s}.

Passo 5

Encontrar o alcance horizontal R. A posição horizontal varia uniformemente (não há aceleração horizontal):
x(t)=v_{0x}\,t = v_0\cos\theta\; t.
O alcance R é x(T), ou seja
R = v_0\cos\theta\;T.
Também podemos usar a forma conhecida
R = \frac{v_0^2\sin(2\theta)}{g},
porque \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta. Vou usar a expressão R=v_0\cos\theta\;T primeiro, usando os valores que já temos.

Passo 6

Calcular R usando R=v_0\cos\theta\;T com v_0=50\\ \mathrm{m/s}, \cos 37^\circ = 0,8 e T=6{,}0\\ \mathrm{s}:
R = 50 \cdot 0,8 \cdot 6{,}0.
Calcule passo a passo:
50\cdot 0,8 = 40,
40\cdot 6{,}0 = 240.
Logo R = 240\\ \mathrm{m}.

Passo 7

Verificação alternativa (opcional, mas boa para confiar no resultado): usar R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}. Primeiro calcule \sin(2\theta) via identidade dupla:
\sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta = 2\cdot 0,6\cdot 0,8 = 0,96.
Então
R = \frac{50^2 \cdot 0,96}{10} = \frac{2500\cdot 0,96}{10} = \frac{2400}{10} = 240,
confirmação perfeita do cálculo anterior.

Passo 8

Resumo final e encontro da alternativa correta: velocidade de lançamento \;50\\ \mathrm{m/s} e alcance \;240\\ \mathrm{m}. Isso corresponde à alternativa (a).

Resposta

a) 50 e 240

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