Uma flecha é disparada por um potente arco, formando um certo ângulo com a horizontal. Essa flecha atinge uma altura máxima de 80 m e seu alcance é de 240 m , determine a velocidade com que ela foi disparada.
Passo 1
O enunciado dá duas informações sobre o movimento do projétil (a flecha) e pede a velocidade inicial. Informações relevantes:
onde
é a altura máxima atingida e
é o alcance horizontal. A incógnita é a velocidade inicial
. Vamos assumir a gravidade
.
Passo 2
Vamos lembrar e deduzir as fórmulas básicas do movimento de projéteis (sem resistência do ar). Primeiro, decompomos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical:
onde
é o ângulo de lançamento com a horizontal. A posição vertical em função do tempo é dada por
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical se torna zero, isto é, quando
Substituindo
em
obtemos a altura máxima:
Aqui explico:
é a energia vertical inicial (em unidades de velocidade ao quadrado) e dividir por
dá a máxima elevação contra a gravidade — é uma fórmula padrão de cinemática.
Passo 3
Agora a fórmula do alcance horizontal. O tempo total de voo (desde o lançamento até voltar ao solo, supondo mesmo nível inicial e final) é
pois sobe até
e desce o mesmo tempo. O alcance é a componente horizontal da velocidade vezes o tempo de voo:
Usando a identidade trigonométrica
, obtemos a forma conhecida:
Passo 4
Agora escrevemos as duas relações conhecidas em termos de
e
:
Queremos eliminar
para obter
. Uma boa estratégia é expressar
a partir da primeira equação e usar a identidade
para relacionar com a segunda. Procedo passo a passo.
Da primeira:
Da segunda (e elevando ao quadrado):
Mas
Igualando as duas expressões para
:
Multiplicando ambos os lados por
para limpar denominadores:
Agora isolamos
:
Essa é uma expressão direta para
em função de
,
e
. É uma boa técnica para provas: eliminar o ângulo usando identidades trigonométricas e as duas equações principais.
Passo 5
Agora substituímos os valores numéricos
,
e
.
Calculemos passo a passo:
Calculemos passo a passo:
Substituindo na fórmula:
Calcule o denominador
. Então
Logo
Arredondando razoavelmente (uma casa decimal):
Uma checagem rápida: se usássemos
por aproximação, daria
, bem próximo — bom sinal.