Uma flecha é disparada por um potente arco, formando um certo ângulo com a horizontal. Essa flecha atinge uma altura máxima de 80 m e seu alcance é de 240 m , determine a velocidade com que ela foi disparada.

Passo 1

O enunciado dá duas informações sobre o movimento do projétil (a flecha) e pede a velocidade inicial. Informações relevantes:
H=80\\ \text{m}
R=240\\ \text{m}
onde \,H é a altura máxima atingida e \,R é o alcance horizontal. A incógnita é a velocidade inicial \,v_0. Vamos assumir a gravidade \,g=9,8\\ \mathrm{m/s^2}.

Passo 2

Vamos lembrar e deduzir as fórmulas básicas do movimento de projéteis (sem resistência do ar). Primeiro, decompomos a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical:
v_{0x}=v_0\cos\theta,\qquad v_{0y}=v_0\sin\theta,
onde \theta é o ângulo de lançamento com a horizontal. A posição vertical em função do tempo é dada por
y(t)=v_{0y}t-\frac{1}{2}gt^2.
A altura máxima ocorre quando a velocidade vertical se torna zero, isto é, quando
v_y(t)=v_{0y}-gt=0 \implies t_{\text{max}}=\frac{v_{0y}}{g}.
Substituindo t_{\text{max}} em y(t) obtemos a altura máxima:
H=\frac{v_{0y}^2}{2g}.
Aqui explico: \,v_{0y}^2 é a energia vertical inicial (em unidades de velocidade ao quadrado) e dividir por 2g dá a máxima elevação contra a gravidade — é uma fórmula padrão de cinemática.

Passo 3

Agora a fórmula do alcance horizontal. O tempo total de voo (desde o lançamento até voltar ao solo, supondo mesmo nível inicial e final) é
T=\frac{2v_{0y}}{g},
pois sobe até t_{\text{max}}=v_{0y}/g e desce o mesmo tempo. O alcance é a componente horizontal da velocidade vezes o tempo de voo:
R=v_{0x}T = v_0\cos\theta\cdot\frac{2v_{0y}}{g} = \frac{2v_0^2\sin\theta\cos\theta}{g}.
Usando a identidade trigonométrica \sin 2\theta = 2\sin\theta\cos\theta, obtemos a forma conhecida:
R=\frac{v_0^2\sin 2\theta}{g}.

Passo 4

Agora escrevemos as duas relações conhecidas em termos de v_0 e \theta:
v_0^2\sin^2\theta = 2gH
v_0^2\sin 2\theta = gR.
Queremos eliminar \theta para obter v_0. Uma boa estratégia é expressar \sin^2\theta a partir da primeira equação e usar a identidade (\sin 2\theta)^2 = 4\sin^2\theta(1-\sin^2\theta) para relacionar com a segunda. Procedo passo a passo.
Da primeira:
\sin^2\theta = \frac{2gH}{v_0^2}.
Da segunda (e elevando ao quadrado):
\sin^2 2\theta = \frac{g^2R^2}{v_0^4}.
Mas
\sin^2 2\theta = 4\sin^2\theta(1-\sin^2\theta) =4\left(\frac{2gH}{v_0^2}\right)\left(1-\frac{2gH}{v_0^2}\right).
Igualando as duas expressões para \sin^2 2\theta:
\frac{g^2R^2}{v_0^4} = 4\cdot\frac{2gH}{v_0^2}\left(1-\frac{2gH}{v_0^2}\right).
Multiplicando ambos os lados por v_0^4 para limpar denominadores:
g^2R^2 = 8gH\,v_0^2 - 16g^2H^2.
Agora isolamos v_0^2:
8gH\,v_0^2 = g^2R^2 + 16g^2H^2
v_0^2 = \frac{g^2(R^2 + 16H^2)}{8gH} = \frac{g\,(R^2 + 16H^2)}{8H}.
Essa é uma expressão direta para v_0^2 em função de R, H e g. É uma boa técnica para provas: eliminar o ângulo usando identidades trigonométricas e as duas equações principais.

Passo 5

Agora substituímos os valores numéricos \,H=80, \,R=240 e \,g=9,8.
Calculemos passo a passo:
R^2=(240)^2=57600,
H^2=(80)^2=6400\implies 16H^2=16\cdot6400=102400,
R^2+16H^2=57600+102400=160000.
Substituindo na fórmula:
v_0^2=\frac{9,8\cdot 160000}{8\cdot 80}.
Calcule o denominador 8\cdot 80=640. Então
v_0^2=\frac{9,8\cdot 160000}{640}=\frac{1568000}{640}=2450.
Logo
v_0=\sqrt{2450}\approx 49,497\\ \mathrm{m/s}.
Arredondando razoavelmente (uma casa decimal):
v_0\approx 49,5\\ \mathrm{m/s}.
Uma checagem rápida: se usássemos g=10\\ \mathrm{m/s^2} por aproximação, daria v_0=50\\ \mathrm{m/s}, bem próximo — bom sinal.

Resposta

v_0\approx 49{,}5\\ \mathrm{m/s}

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