Um canhão pode ter a elevação de seu cano alterado,para com isso alterar o local do impacto do projétil.A velocidade de saída do tiro é de 300 \mathrm{~m} / \mathrm{s} .Use \mathrm{g}=10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}
b) Calcule o tempo de impacto,a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de 60^{\circ}

Passo 1

Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
  • A velocidade de saída do projétil é \;v_0 = 300\\ \mathrm{m/s}.\n
  • A inclinação do cano em relação à horizontal é \;\theta = 60^\circ.\n
  • A aceleração da gravidade é \;g = 10\\ \mathrm{m/s^2}.\n
  • Pressuposição (comum nesse tipo de problema): o projétil é lançado de um ponto e atinge o mesmo nível do lançamento (terreno plano), ou seja, a altura inicial é igual à altura final.\n
    Perguntas pedidas pelo enunciado:\n
  • Calcular o tempo de impacto (tempo total de voo) do projétil.\n
  • Calcular a altura máxima atingida pelo projétil.\n
  • Calcular o alcance horizontal do projétil (distância horizontal percorrida até o impacto).\n

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.\n
  • Convenção: eixo x horizontal (positivo na direção do disparo), eixo y vertical para cima.\n
  • A velocidade inicial \;v_0 tem componentes\n v_{0x} = v_0\cos\theta,\qquad v_{0y} = v_0\sin\theta.\n
  • Lembrete rápido de trigonometria: \cos\theta é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa; \sin\theta é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Para \theta=60^\circ temos \cos60^\circ=\tfrac{1}{2} e \sin60^\circ=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.\n
  • Logo as componentes numéricas (exatas) são\n v_{0x} = 300\cos60^\circ = 300\cdot\tfrac{1}{2} = 150\\ \mathrm{m/s},
v_{0y} = 300\sin60^\circ = 300\cdot\tfrac{\sqrt{3}}{2} = 150\sqrt{3}\\ \mathrm{m/s}.

Passo 3

Equação do movimento vertical e condição para encontrar o tempo de impacto.\n
  • A equação do deslocamento vertical (movimento uniformemente variado) com origem no ponto de lançamento é\n y(t)=v_{0y}\,t-\tfrac{1}{2}g t^2,\n
onde y(t) é a altura em função do tempo, v_{0y} é a componente vertical inicial e g é a aceleração gravitacional (positivo aqui, mas subtrai na equação porque atua para baixo).\n
  • O impacto ocorre quando o projétil volta ao nível inicial, ou seja, quando y(t)=0. Essa equação tem duas soluções: t=0 (lançamento) e o tempo de impacto T>0, que vamos calcular.

Passo 4

Resolver y(t)=0 para achar o tempo de impacto T.\n
  • Colocando y(t)=0 temos\n 0 = v_{0y}\,t - \tfrac{1}{2} g t^2.\n
  • Fatorando t:\n t\bigl(v_{0y}-\tfrac{1}{2} g t\bigr)=0.\n
  • As soluções são t=0 e t=\dfrac{2v_{0y}}{g}. A solução não nula é o tempo total de voo:\n T=\frac{2v_{0y}}{g}.\n
  • Substituindo v_{0y}=150\sqrt{3} e g=10:\n T=\frac{2\cdot 150\sqrt{3}}{10}=\frac{300\sqrt{3}}{10}=30\sqrt{3}\\ \mathrm{s}.\n
  • Aproximação numérica: \sqrt{3}\approx 1,73205, então\n T\approx 30\cdot 1,73205 = 51,9615\\ \mathrm{s}\approx 51,96\\ \mathrm{s}.

Passo 5

Tempo até o ponto mais alto (pico) e dedução da fórmula da altura máxima.\n
  • A velocidade vertical instantânea é \;v_y(t)=v_{0y}-g t.\n
  • No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero: v_y(t_{\text{pico}})=0. Assim\n t_{\text{pico}}=\frac{v_{0y}}{g}.\n
  • Substituindo v_{0y}=150\sqrt{3} e g=10 obtemos\n t_{\text{pico}}=\frac{150\sqrt{3}}{10}=15\sqrt{3}\\ \mathrm{s}\approx 25,98\\ \mathrm{s}.\n
  • A altura máxima H pode ser obtida substituindo t_{\text{pico}} na equação y(t) ou usando a fórmula direta (muito usada em provas):\n H=\frac{v_{0y}^2}{2g}.\n
  • Derivação curta dessa fórmula: y(t_{\text{pico}})=v_{0y}t_{\text{pico}}-\tfrac{1}{2}g t_{\text{pico}}^2 = v_{0y}\frac{v_{0y}}{g}-\tfrac{1}{2}g\frac{v_{0y}^2}{g^2}=\dfrac{v_{0y}^2}{2g}.\n
  • Substituindo v_{0y}=150\sqrt{3}:\n H=\frac{(150\sqrt{3})^2}{2\cdot 10}=\frac{22500\cdot 3}{20}=\frac{67500}{20}=3375\\ \mathrm{m}.\n
  • Observação: neste caso deu um número inteiro porque \sin^2 60^\circ=3/4 simplifica os cálculos.

Passo 6

Cálculo do alcance horizontal R.\n
  • A velocidade horizontal é constante: v_x(t)=v_{0x}=150\\ \mathrm{m/s}.\n
  • O alcance (distância horizontal percorrida até o impacto) é\n R=v_{0x}\,T.\n
  • Substituindo v_{0x}=150 e T=30\sqrt{3}:\n R=150\cdot 30\sqrt{3}=4500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}.\n
  • Aproximação numérica: 4500\sqrt{3}\approx 4500\cdot 1,73205=7794,23\\ \mathrm{m}.\n
  • Observação alternativa (fórmula clássica): R=\dfrac{v_0^2\sin(2\theta)}{g}. Aqui \sin(2\theta)=\sin(120^\circ)=\sin(60^\circ)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}, então\n R=\frac{300^2\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{10}=\frac{90000\cdot \tfrac{\sqrt{3}}{2}}{10}=4500\sqrt{3},\nconfirmando o mesmo valor.

Passo 7

Resumo dos resultados com as formas exatas e aproximações numéricas (única checagem rápida de unidade e escala).\n
  • Tempo de voo é da ordem de dezenas de segundos (a velocidade inicial é grande), altura máxima de alguns quilômetros e alcance de milhares de metros — as unidades conferem: \mathrm{s} para tempo, \mathrm{m} para distâncias.\n
  • Valores finais prontos para a prova: tempo T, altura máxima H, alcance R conforme calculados nos passos anteriores.

Resposta

\;T = 30\sqrt{3}\\ \mathrm{s}\approx 51,96\\ \mathrm{s}\n
\;H = 3375\\ \mathrm{m}\n
\;R = 4500\sqrt{3}\\ \mathrm{m}\approx 7794,23\\ \mathrm{m}

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