Um canhão pode ter a elevação de seu cano alterado,para com isso alterar o local do impacto do projétil.A velocidade de saída do tiro é de
.Use
.
b) Calcule o tempo de impacto,a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de
.
b) Calcule o tempo de impacto,a altura máxima e o alcance para um disparo com uma inclinação em relação a horizontal de
Passo 1
Enunciado e dados fornecidos (o que o problema pede):\n
- A velocidade de saída do projétil é
\n - A inclinação do cano em relação à horizontal é
\n - A aceleração da gravidade é
\n - Pressuposição (comum nesse tipo de problema): o projétil é lançado de um ponto e atinge o mesmo nível do lançamento (terreno plano), ou seja, a altura inicial é igual à altura final.\n
Perguntas pedidas pelo enunciado:\n - Calcular o tempo de impacto (tempo total de voo) do projétil.\n
- Calcular a altura máxima atingida pelo projétil.\n
- Calcular o alcance horizontal do projétil (distância horizontal percorrida até o impacto).\n
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e decompor a velocidade inicial em componentes horizontal e vertical.\n
- Convenção: eixo
horizontal (positivo na direção do disparo), eixo vertical para cima.\n - A velocidade inicial
tem componentes\n \n - Lembrete rápido de trigonometria:
é a razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa; é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. Para temos e .\n - Logo as componentes numéricas (exatas) são\n
Passo 3
Equação do movimento vertical e condição para encontrar o tempo de impacto.\n
- A equação do deslocamento vertical (movimento uniformemente variado) com origem no ponto de lançamento é\n
\n
onde
é a altura em função do tempo,
é a componente vertical inicial e
é a aceleração gravitacional (positivo aqui, mas subtrai na equação porque atua para baixo).\n
- O impacto ocorre quando o projétil volta ao nível inicial, ou seja, quando
. Essa equação tem duas soluções: (lançamento) e o tempo de impacto , que vamos calcular.
Passo 4
Resolver
para achar o tempo de impacto
.\n
- Colocando
temos\n \n - Fatorando
:\n \n - As soluções são
e . A solução não nula é o tempo total de voo:\n \n - Substituindo
e :\n \n - Aproximação numérica:
, então\n
Passo 5
Tempo até o ponto mais alto (pico) e dedução da fórmula da altura máxima.\n
- A velocidade vertical instantânea é
\n - No ponto mais alto a componente vertical da velocidade é zero:
. Assim\n \n - Substituindo
e obtemos\n \n - A altura máxima
pode ser obtida substituindo na equação ou usando a fórmula direta (muito usada em provas):\n \n - Derivação curta dessa fórmula:
\n - Substituindo
:\n \n - Observação: neste caso deu um número inteiro porque
simplifica os cálculos.
Passo 6
Cálculo do alcance horizontal
.\n
- A velocidade horizontal é constante:
\n - O alcance (distância horizontal percorrida até o impacto) é\n
\n - Substituindo
e :\n \n - Aproximação numérica:
\n - Observação alternativa (fórmula clássica):
. Aqui , então\n \nconfirmando o mesmo valor.
Passo 7
Resumo dos resultados com as formas exatas e aproximações numéricas (única checagem rápida de unidade e escala).\n
- Tempo de voo é da ordem de dezenas de segundos (a velocidade inicial é grande), altura máxima de alguns quilômetros e alcance de milhares de metros — as unidades conferem:
para tempo, para distâncias.\n - Valores finais prontos para a prova: tempo
, altura máxima , alcance conforme calculados nos passos anteriores.