Entre as 14:00 e 16:00 h, o número médio de chamadas telefônicas por minuto atendidas em uma empresa é 2,5. Determinar a probabilidade de durante um determinado minuto entre as 14:00 e 16:00 h, haver:
4 chamadas ou menos. Resp. 89,1%.
4 chamadas ou menos. Resp. 89,1%.
Passo 1
Vamos resolver um exercício de probabilidade, mais especificamente usando a distribuição de Poisson. A questão nos diz que, entre as 14:00 e 16:00, a média de chamadas telefônicas atendidas por minuto é 2,5. Precisamos encontrar a probabilidade de, em um minuto qualquer nesse período, haver 4 chamadas ou menos.
Passo 2
Primeiro, identificamos que o problema se encaixa na distribuição de Poisson. Essa distribuição é adequada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
Passo 3
A fórmula da distribuição de Poisson é:
onde:
- $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
- $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (neste caso, 2,5 chamadas por minuto),
- $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828),
- $ k! $ é o fatorial de $ k $.
Passo 4
Queremos encontrar a probabilidade de haver 4 chamadas ou menos, ou seja, $ P(X \leq 4) $. Isso significa calcular a soma das probabilidades de ocorrer 0, 1, 2, 3 e 4 chamadas:
Passo 5
Vamos calcular cada termo utilizando a fórmula da Poisson:
- Para $ k = 0 $:
- Para $ k = 1 $:
- Para $ k = 2 $:
- Para $ k = 3 $:
- Para $ k = 4 $:
Passo 6
Agora, somamos todas essas probabilidades para obter $ P(X \leq 4) $:
Resposta
A probabilidade de haver 4 chamadas ou menos em um minuto qualquer entre as 14:00 e 16:00 é de aproximadamente 89,1%.