Entre as 14:00 e 16:00 h, o número médio de chamadas telefônicas por minuto atendidas em uma empresa é 2,5. Determinar a probabilidade de durante um determinado minuto entre as 14:00 e 16:00 h, haver:
4 chamadas ou menos. Resp. 89,1%.

Passo 1

Vamos resolver um exercício de probabilidade, mais especificamente usando a distribuição de Poisson. A questão nos diz que, entre as 14:00 e 16:00, a média de chamadas telefônicas atendidas por minuto é 2,5. Precisamos encontrar a probabilidade de, em um minuto qualquer nesse período, haver 4 chamadas ou menos.

Passo 2

Primeiro, identificamos que o problema se encaixa na distribuição de Poisson. Essa distribuição é adequada para modelar o número de ocorrências de um evento em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.

Passo 3

A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = lambda^k cdot e^-lambdak!
onde:
  • $ P(X = k) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos,
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (neste caso, 2,5 chamadas por minuto),
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (aproximadamente 2,71828),
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 4

Queremos encontrar a probabilidade de haver 4 chamadas ou menos, ou seja, $ P(X \leq 4) $. Isso significa calcular a soma das probabilidades de ocorrer 0, 1, 2, 3 e 4 chamadas:
P(X <= 4)

Passo 5

Vamos calcular cada termo utilizando a fórmula da Poisson:
  1. Para $ k = 0 $:
k = 0
  1. Para $ k = 1 $:
P(X=0) = 2,5^0 cdot e^-2,50! = e^-2,5 approx 0,0821
  1. Para $ k = 2 $:
k = 1
  1. Para $ k = 3 $:
P(X=1) = 2,5^1 cdot e^-2,51! = 2,5 cdot e^-2,5 approx 0,2053
  1. Para $ k = 4 $:
k = 2

Passo 6

Agora, somamos todas essas probabilidades para obter $ P(X \leq 4) $:
P(X <= 4)

Resposta

A probabilidade de haver 4 chamadas ou menos em um minuto qualquer entre as 14:00 e 16:00 é de aproximadamente 89,1%.

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