Entre as 14:00 e 16:00 h, o número médio de chamadas telefônicas por minuto atendidas em uma empresa é 2,5. Determinar a probabilidade de durante um determinado minuto entre as 14:00 e 16:00 h, haver:
Mais de 6 chamadas telefônicas. Resp. 1,4%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de probabilidade aqui. Entre as 14:00 e 16:00, uma empresa recebe, em média, 2,5 chamadas por minuto. A pergunta é: qual a chance de, em um minuto qualquer desse período, receber mais de 6 chamadas? Para resolver isso, vamos usar a distribuição de Poisson, que é ótima para calcular a probabilidade de um certo número de eventos acontecerem em um intervalo fixo de tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela nos ajuda a calcular a probabilidade de ocorrer um número específico de eventos em um intervalo de tempo, quando esses eventos acontecem com uma taxa média conhecida e de forma independente. A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(k; lambda) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • $ P(k; \lambda) $ é a probabilidade de ocorrer exatamente $ k $ eventos.
  • $ \lambda $ é a taxa média de ocorrência (neste caso, 2,5 chamadas por minuto).
  • $ e $ é a base do logaritmo natural (~2,71828).
  • $ k! $ é o fatorial de $ k $.

Passo 3

Queremos a probabilidade de ocorrer mais de 6 chamadas em um minuto, ou seja, $ P(k > 6) $. Isso é igual a 1 menos a probabilidade de ocorrerem 6 ou menos chamadas:
P(k > 6)
Então, precisamos calcular $ P(k \leq 6) $, que é a soma das probabilidades de $ k = 0 $ até $ k = 6 $.

Passo 4

Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula de Poisson:
P(0; 2.5) &= e^-2.5 cdot 2.5^00! = e^-2.5 approx 0.0821 P(1; 2.5) &= e^-2.5 cdot 2.5^11! = 2.5 cdot e^-2.5 approx 0.2053 P(2; 2.5) &= e^-2.5 cdot 2.5^22! = 6.25 cdot e^-2.52 approx 0.2566 P(3; 2.5) &= e^-2.5 cdot 2.5^33! = 15.625 cdot e^-2.56 approx 0.2138 P(4; 2.5) &= e^-2.5 cdot 2.5^44! = 39.0625 cdot e^-2.524 approx 0.1336 P(5; 2.5) &= e^-2.5 cdot 2.5^55! = 97.65625 cdot e^-2.5120 approx 0.0668 P(6; 2.5) &= e^-2.5 cdot 2.5^66! = 244.140625 cdot e^-2.5720 approx 0.0278

Passo 5

Agora, somamos todas essas probabilidades para encontrar $ P(k \leq 6) $:
P(k <= 6)

Passo 6

Finalmente, calculamos a probabilidade de ocorrer mais de 6 chamadas:
P(k > 6) = 1 - P(k <= 6) approx 1 - 0.9930 = 0.0070
Convertendo para porcentagem:
0.0070 times 100% approx 0,7%

Resposta

A probabilidade de, em um minuto entre as 14:00 e 16:00 h, ocorrer mais de 6 chamadas telefônicas é aproximadamente 0,7%.

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