14-(1.0pt) Deduza a equação do processo adiabático entre dois estados de um gás ideal em termos de:
F e T (pressão e temperatura)

Passo 1

O enunciado pede para deduzir, num processo adiabático de um gás ideal, a relação que envolve somente a pressão (p) e a temperatura (T). Para isso, vamos usar duas ideias principais da termodinâmica de gases:
  1. No processo adiabático reversível de um gás ideal vale
p\,V^{\gamma} = \text{constante},
onde \gamma = \dfrac{C_p}{C_V} é a razão dos calores específicos.
  1. A equação de estado dos gases ideais
p\,V = n\,R\,T.

Passo 2

Começamos recordando a equação adiabática, que vale durante todo o processo:
p\,V^{\gamma} = K,
onde K é uma constante que depende do estado inicial, e \gamma é a razão dos calores específicos.

Passo 3

Em seguida, usamos a equação de estado do gás ideal para escrever o volume V em função de p e T:
V = \frac{n\,R\,T}{p}.

Passo 4

Substituímos essa expressão de V na equação adiabática. Assim,
p\;\Bigl(\frac{n\,R\,T}{p}\Bigr)^{\gamma} = K.
Desenvolvendo o expoente, fica
p\;\frac{(n\,R)^{\gamma}\,T^{\gamma}}{p^{\gamma}} =K \quad\Longrightarrow\quad \frac{(n\,R)^{\gamma}\,T^{\gamma}}{p^{\gamma-1}} =K.

Passo 5

Isolando a parte que envolve apenas p e T, e absorvendo (nR)^{\gamma} em outra constante K', obtemos
\frac{T^{\gamma}}{p^{\,\gamma-1}} = K' \quad\Longrightarrow\quad p^{\,\gamma-1}\;=\; \frac{T^{\gamma}}{K'} \quad\Longrightarrow\quad p^{\,\gamma-1}\propto T^{\gamma}.
Podemos ainda reescrever em uma forma equivalente mais direta:
p^{1-\gamma}\,T^{\gamma}=\text{constante}.

Resposta

p^{1-\gamma}\,T^{\gamma}=\text{constante},
que é a equação do processo adiabático em termos de pressão e temperatura.

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