14-(1.0pt) Deduza a equação do processo adiabático entre dois estados de um gás ideal em termos de:
V e T (volume e temperatura)

Passo 1

O enunciado pede para deduzir a relação que descreve um processo adiabático de um gás ideal entre dois estados, usando apenas o volume V e a temperatura T. O conteúdo principal aqui é Termodinâmica — em particular, a Primeira Lei aplicada a um processo adiabático (onde não há troca de calor, \delta Q=0) e a equação de estado do gás ideal.

Passo 2

Em um processo adiabático temos
\delta Q = 0
e a Primeira Lei da Termodinâmica diz
dU = \delta Q - \delta W \;\Longrightarrow\; dU = -\,\delta W.
Para um gás ideal monatomic (ou poliatômico), a variação de energia interna é
dU = n C_{V}\,dT
e o trabalho de expansão é
\delta W = p\,dV.

Passo 3

Substituindo em dU =-\delta W, obtemos
n C_{V}\,dT = -\,p\,dV.
Como p satisfaz a equação de estado pV = n R T, temos
p = \frac{n R T}{V}.
Logo
n C_{V}\,dT = -\,\frac{n R T}{V}\,dV.

Passo 4

Dividindo ambos os lados por n C_{V} T, chega-se a
\frac{dT}{T} + \frac{R}{C_{V}}\;\frac{dV}{V} = 0.
Mas \displaystyle\gamma = \frac{C_{P}}{C_{V}} e C_{P}-C_{V}=R, logo \displaystyle\frac{R}{C_{V}} = \gamma-1. Substituindo,
\frac{dT}{T} + (\gamma-1)\,\frac{dV}{V} = 0.
Integrando entre dois estados quaisquer:
\int \frac{dT}{T} + (\gamma-1)\int \frac{dV}{V} = 0 \;\Longrightarrow\; \ln T + (\gamma-1)\,\ln V = \text{constante}.

Passo 5

Aplicando propriedades de logaritmo,
\ln\bigl(T\,V^{\gamma-1}\bigr)=\text{constante} \;\Longrightarrow\; T\,V^{\gamma-1}=\text{constante}.
Entre dois estados (T_{1},V_{1}) e (T_{2},V_{2}) isso fica
T_{1}\,V_{1}^{\gamma-1} = T_{2}\,V_{2}^{\gamma-1}.

Resposta

A equação do processo adiabático em termos de V e T é
T\,V^{\gamma-1} = \text{constante},
ou, entre dois estados,
T_{1}\,V_{1}^{\gamma-1} = T_{2}\,V_{2}^{\gamma-1}.

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