Uma bateria tem capacidade para fornecer corrente elétrica máxima de i_{0}=1 A para acender um LED conectado a ela por meio de um fio quântico semicondutor. Os materiais usados para fazer o fio quântico e do LED são semicondutores com dopagens diferentes, de modo que a conexão entre eles gera um contato ôhmico cuja energia potencial é de 6,0 \mathrm{eV} e tem largura típica de a=8 \AA. Considere que os elétrons tenham energia cinética de 3,0 \mathrm{eV}. Se o LED tem uma corrente de limiar (aquela que o faz entrar em operação) de 1 \mu A, mostre se essa bateria tem capacidade para acender o LED.

Passo 1

O enunciado descreve uma bateria que fornece corrente máxima de i_{0}=1{,}0\\ \mathrm{A} a um LED, mas há um contato ôhmico entre o fio quântico e o LED que gera uma barreira retangular de potencial de altura U_{0}=6{,}0\\ \mathrm{eV} e largura típica a=8\\ \text{\AA}. Os elétrons incidentes têm energia cinética E=3{,}0\\ \mathrm{eV} e o LED exige corrente de limiar I_{\text{lim}}=1{,}0\\ \mu\mathrm{A}. Para saber se a bateria acende o LED, vamos estimar a probabilidade de tunelamento T pela barreira e calcular a corrente transmitida i=i_{0}T, comparando-a com I_{\text{lim}}.

Passo 2

Segundo a aproximação de WKB para uma barreira retangular, a probabilidade de tunelamento é
T \approx \exp\bigl(-2\,\kappa\,a\bigr)
em que
\kappa = \frac{\sqrt{2\,m\,(U_{0}-E)}}{\hbar}
é o decaimento exponencial na região da barreira, m é a massa do elétron e \hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 3

Convertendo as energias para joules e a largura para metros:
U_{0}-E = (6{,}0 - 3{,}0)\,\mathrm{eV} = 3{,}0\times1{,}6\times10^{-19}\,\mathrm{J} = 4{,}8\times10^{-19}\,\mathrm{J},
a = 8\\ \text{\AA} = 8\times10^{-10}\,\mathrm{m}.
Logo,
2\,m\,(U_{0}-E) = 2 \times 9{,}11\times10^{-31}\,\mathrm{kg}\times4{,}8\times10^{-19}\,\mathrm{J} =8{,}7456\times10^{-49}\,\mathrm{J}^{2}\!,
\sqrt{2\,m\,(U_{0}-E)} \approx 9{,}35\times10^{-25}\,\mathrm{kg}^{1/2}\mathrm{m}^{1/2}\mathrm{s}^{-1},
\kappa = \frac{9{,}35\times10^{-25}}{1{,}055\times10^{-34}\,\mathrm{J\cdot s}} \approx 8{,}9\times10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}.

Passo 4

Substituindo em T:
2\,\kappa\,a = 2 \times 8{,}9\times10^{9}\,\mathrm{m}^{-1}\times8\times10^{-10}\,\mathrm{m} \approx 14{,}2,
T \approx e^{-14{,}2} \approx 6{,}5\times10^{-7}.

Passo 5

A corrente de tunelamento é
i = i_{0}\,T = 1{,}0\\ \mathrm{A} \times 6{,}5\times10^{-7} = 6{,}5\times10^{-7}\\ \mathrm{A} = 0{,}65\\ \mu\mathrm{A}.

Passo 6

Comparando com a corrente de limiar do LED, I_{\text{lim}}=1{,}0\\ \mu\mathrm{A}, vemos que
i = 0{,}65\\ \mu\mathrm{A} < I_{\text{lim}} = 1{,}0\\ \mu\mathrm{A}.
Logo, a bateria não consegue fornecer corrente suficiente através do tunelamento para acender o LED.

Resposta

Não, a bateria não tem capacidade para acender o LED, pois a corrente de tunelamento estimada 0{,}65\\ \mu\mathrm{A} é menor que o limiar de 1{,}0\\ \mu\mathrm{A}.

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