Entre as 14 e as 16 horas, o número médio de chamadas telefônicas por minuto é 3, considere que o número de chamadas segue uma distribuição Poisson. Qual a probabilidade de se receber: mais de 4 ligações.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre o número de chamadas telefônicas que chegam em média por minuto e menciona que esse número segue uma distribuição de Poisson. A gente precisa calcular a probabilidade de receber mais de 4 ligações em um minuto. Para isso, vamos usar a fórmula da distribuição de Poisson.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a distribuição de Poisson. Ela é usada para modelar o número de eventos que acontecem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, quando esses eventos ocorrem com uma taxa média conhecida e de forma independente.
A fórmula da distribuição de Poisson é:
P(X = k) = e^-lambda lambda^kk!
Onde:
  • é a probabilidade de ocorrer exatamente eventos.
  • é a média de eventos por intervalo.
  • é a constante de Euler, aproximadamente igual a 2,71828.
  • é o fatorial de .

Passo 3

No nosso caso, a média P(X > 4) = 1 - P(X <= 4) é 3 chamadas por minuto. Queremos saber a probabilidade de receber mais de 4 chamadas, ou seja, .
Para encontrar essa probabilidade, podemos calcular o complemento da probabilidade de receber 4 ou menos chamadas, assim:

Passo 4

Vamos calcular P(X <= 4) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) , que é a soma das probabilidades de receber 0, 1, 2, 3 e 4 chamadas:
Vamos calcular cada uma dessas probabilidades usando a fórmula da distribuição de Poisson.

Passo 5

Calculando cada termo:
  1. Para P(X=0) = e^-3 times 3^00! = e^-3 times 1 / 1 = e^-3 approx 0,0498 :
    P(X=1) = e^-3 times 3^11! = e^-3 times 3 / 1 = 3e^-3 approx 0,1494
  2. Para P(X=2) = e^-3 times 3^22! = e^-3 times 9 / 2 = 4,5e^-3 approx 0,2240 :
    P(X=3) = e^-3 times 3^33! = e^-3 times 27 / 6 = 4,5e^-3 approx 0,2240
  3. Para P(X=4) = e^-3 times 3^44! = e^-3 times 81 / 24 = 3,375e^-3 approx 0,1680 :
  4. Para :
  5. Para :

Passo 6

Agora, vamos somar todas essas probabilidades:
P(X <= 4) approx 0,0498 + 0,1494 + 0,2240 + 0,2240 + 0,1680 = 0,8152

Passo 7

Finalmente, a probabilidade de receber mais de 4 chamadas é:
P(X > 4) = 1 - P(X <= 4) = 1 - 0,8152 = 0,1848

Resposta

A probabilidade de receber mais de 4 ligações em um minuto é aproximadamente 18,48%.

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