14.30 * Você está preparando um aparelho para uma visita a um planeta recém-descoberto chamado Caasi, onde há oceanos de glicerina e cuja aceleração gravitacional na superfície é igual a 5,40 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2}. Se o seu aparelho flutua nos oceanos da Terra com 25,0 \% de seu volume submerso, que porcentagem de seu volume estará submersa nos oceanos de glicerina de Caasi?

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede:
  • Dado: a aceleração gravitacional em Caasi é 5{,}40\\ \mathrm{m/s^{2}}.
  • Dado: no oceano da Terra o aparelho flutua com 25{,}0\% do seu volume submerso.
  • Pedido: qual porcentagem do volume do aparelho ficará submersa nos oceanos de glicerina de Caasi?
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas ou padrão):
  • Percentual submerso na Terra: f_{\rm Terra}=25{,}0\%=0{,}250.
  • Densidade típica da água pura: \rho_{\rm água}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á (valor padrão).
  • Densidade típica da glicerina (glicerol) à temperatura ambiente: \rho_{\rm glic}=1260\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor típico usado em exercícios).

Passo 2

Princípio físico que usamos (aula rápida e direta): Arquimedes / equilíbrio de flutuação.
  • Quando um objeto flutua sem afundar nem subir, a força peso do objeto é igual à força de empuxo que o fluido exerce sobre ele.
  • Definições de variáveis:
    • V = volume total do aparelho (muito útil cancelar depois).
    • f = fração do volume submersa (número entre 0 e 1).
    • \rho_{\rm obj} = densidade do aparelho.
    • \rho_{\rm fluido} = densidade do fluido onde flutua (água ou glicerina).
    • g = aceleração da gravidade (pode variar de planeta para planeta).
  • Fórmulas:
    • Peso do aparelho: P = m g. Como m=\rho_{\rm obj} V, temos P=\rho_{\rm obj} V g.
    • Empuxo (força de Arquimedes): E = (\text{volume deslocado})\cdot \rho_{\rm fluido}\cdot g = f V \rho_{\rm fluido} g.
  • Condição de equilíbrio (flutuação): P = E, ou seja,
\rho_{\rm obj} V g = f V \rho_{\rm fluido} g.

Passo 3

Simplificação e consequência importante (moral da história: o g cancela).
  • Cancela-se V e g dos dois lados da igualdade, ficando
\rho_{\rm obj} = f \rho_{\rm fluido}.
  • Reescrevendo para a fração submersa,
f = \frac{\rho_{\rm obj}}{\rho_{\rm fluido}}.
  • Observação didática: a fração submersa depende só da densidade relativa entre o objeto e o fluido; a gravidade g desapareceu da fórmula. Portanto, mesmo que g em Caasi seja 5{,}40\\ \mathrm{m/s^{2}} (menor que na Terra), isso não altera a fração submersa — o que importa é a densidade do fluido.

Passo 4

Determinar a densidade do aparelho usando a situação na Terra.
  • Na Terra o aparelho flutua com f_{\rm Terra}=0{,}250 em água. Pela relação anterior,
\rho_{\rm obj} = f_{\rm Terra}\, \rho_{\rm água}.á
  • Substituindo valores (usei \rho_{\rm água}=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}}á):
\rho_{\rm obj} = 0{,}250 \times 1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} = 250\\ \mathrm{kg/m^{3}}.

Passo 5

Calcular a fração submersa na glicerina de Caasi.
  • Usamos \rho_{\rm glic}=1260\\ \mathrm{kg/m^{3}} (valor típico). Pela fórmula
f_{\rm Caasi} = \frac{\rho_{\rm obj}}{\rho_{\rm glic}} = \frac{250}{1260}.
  • Simplificando a fração:
\frac{250}{1260}=\frac{25}{126}\approx 0{,}198412698\ldots
  • Convertendo para porcentagem e arredondando de forma compatível com os dados:
f_{\rm Caasi}\approx 0{,}1984\quad\Rightarrow\quad 19{,}8\%.

Passo 6

Interpretação final e dica para a prova.
  • Conclusão física: como a fração submersa não depende de g, a menor gravidade de Caasi ( 5{,}40\\ \mathrm{m/s^{2}}) não altera o cálculo — só a densidade da glicerina importa.
  • Dica prática: se no enunciado houvesse outra densidade para a glicerina, basta substituir \rho_{\rm glic} na fórmula f=\rho_{\rm obj}/\rho_{\rm glic} e recalcular. Não precisa usar g em nenhuma etapa.

Resposta

19{,}8\%

Exercícios relacionados